Где находятся точки минимума функции y=x^3+5x^2+7x+22?

Pyatno

69

Чтобы найти точки минимума функции \(y = x^3 + 5x^2 + 7x + 22\), мы можем использовать процесс дифференцирования и приравнять производную к нулю. Когда производная равна нулю, функция достигает экстремума, то есть либо минимума, либо максимума. Давайте выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = x^3 + 5x^2 + 7x + 22\). Используя правила дифференцирования, получим:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (x^3 + 5x^2 + 7x + 22) = 3x^2 + 10x + 7\]

Шаг 2: Равенство \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\) представляет момент, когда производная равна нулю. Решим это уравнение:

\[3x^2 + 10x + 7 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, полной квадратной формулы или дискриминанта. В данном случае нам понадобится дискриминант, который вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 10\) и \(c = 7\). Вычислим его:

\[D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16\]

Дискриминант положительный, поэтому у уравнения есть два корня:

\[x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-10 + \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-10 + 4}}{{6}} = -1\]
\[x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-10 - \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-10 - 4}}{{6}} = -2\]

Шаг 3: Теперь, когда у нас есть значения \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -2\), мы можем найти соответствующие значения \(y\). Подставим значения \(x_1\) и \(x_2\) в исходное уравнение и выполним вычисления:

\[y_1 = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 22 = -1 + 5 - 7 + 22 = 19\]
\[y_2 = (-2)^3 + 5(-2)^2 + 7(-2) + 22 = -8 + 20 - 14 + 22 = 20\]

Итак, точки минимума функции \(y = x^3 + 5x^2 + 7x + 22\) находятся при \(x = -1\) и \(y = 19\) и при \(x = -2\) и \(y = 20\). Это означает, что функция имеет две точки минимума на графике.