How to solve a trigonometric equation. sin2x/tanx-1=0

Семён_6198

46

Для решения данного уравнения мы начнем с того, чтобы выразить sin(2x) через углы x.
Известно, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (формула двойного угла).
Далее, мы можем выразить tan(x) как sin(x)/cos(x).

Теперь подставим это в уравнение:

$$\frac{\sin (2x)}{\tan (x)}-1=0$$

Подставляем sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и tan(x) = sin(x)/cos(x):

$$\frac{2\sin (x)\cos (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}-1=0$$

Далее упрощаем выражение:

$$2{\cos }^2(x)-1=0$$

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

$$2{\cos }^2(x)-1=0$$

$$2{\cos }^2(x)=1$$

$${\cos }^2(x)=\frac{1}{2}$$

$$\cos (x)=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, у нас два возможных значения для cos(x): $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, а cos(3π/4) = -√2/2 и sin(3π/4) = √2/2.

Следовательно, решениями уравнения sin(2x)/tan(x) - 1 = 0 будут значения x = π/4 + 2πk и x = 3π/4 + 2πk, где k - целое число.