How to solve a trigonometric equation. sin2x/tanx-1=0

Семён_6198

46

Для решения данного уравнения мы начнем с того, чтобы выразить sin(2x) через углы x.
Известно, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (формула двойного угла).
Далее, мы можем выразить tan(x) как sin(x)/cos(x).

Теперь подставим это в уравнение:

\[
\frac{{\sin(2x)}}{{\tan(x)}} - 1 = 0
\]

Подставляем sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и tan(x) = sin(x)/cos(x):

\[
\frac{{2\sin(x)\cos(x)}}{{\frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}}} - 1 = 0
\]

Далее упрощаем выражение:

\[
2\cos^2(x) - 1 = 0
\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[
2\cos^2(x) - 1 = 0
\]

\[
2\cos^2(x) = 1
\]

\[
\cos^2(x) = \frac{1}{2}
\]

\[
\cos(x) = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, у нас два возможных значения для cos(x): \( \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Известно, что cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, а cos(3π/4) = -√2/2 и sin(3π/4) = √2/2.

Следовательно, решениями уравнения sin(2x)/tan(x) - 1 = 0 будут значения x = π/4 + 2πk и x = 3π/4 + 2πk, где k - целое число.