What is the value of sin^2(x) if 0 < x < π/2 and tg(x+π/4)-2tgx=2​?

Sergeevich

26

Перед тем как перейти к решению задачи, давайте разберемся с обозначениями, чтобы мы все находились на одной волне.

Дана функция тангенса tg(x) и уравнение tg(x+π/4)-2tgx=2. Задача состоит в том, чтобы найти значение sin^2(x), при условии 0 < x < π/2.

Давайте начнем.

1. Сначала проведем некоторые алгебраические преобразования, чтобы привести уравнение к более удобному виду.

Раскроем тангенс суммы аргументов в первом члене уравнения:

tg(x+π/4) = (tgx + t(π/4)) / (1 - tgx * t(π/4)),

где t(π/4) - значение тангенса π/4, достаточно сказать, что t(π/4) = 1.

Получим:

(tgx + 1) / (1 - tgx * 1) - 2tgx = 2.

2. Далее, упростим уравнение:

(tgx + 1) - 2tgx + (2tgx)*(tgx*1) = 2(1 - tgx).

3. Применим приведение подобных:

tgx - 2tgx^2 + 2tgx^2 = 2 - 2tgx.

Получим:

-tgx^2 = 2 - 2tgx.

4. Теперь, приведем уравнение к квадратному виду:

tgx^2 - 2tgx + 2 = 0.

5. Решим полученное квадратное уравнение. Нам понадобится формула дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = -2 и c = 2.

Найдем дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = -4.

6. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Но, так как в исходной задаче указано, что 0 < x < π/2, то мы можем сказать, что угол x не равен 0 и не равен π/2.

Поскольку у нас нет действительных корней уравнения, мы не можем определить конкретное значение sin^2(x) при заданных условиях.

Ответ: sin^2(x) не может быть определено при условии 0 < x < π/2 и tg(x+π/4)-2tgx=2.

Важно помнить, что решение уравнения может быть невозможным в некоторых случаях, и это является важной частью математического процесса.