Identify the extreme points of the function. f(x)=3x^2-2x^3+6

Летучий_Демон

9

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем производную этой функции. Затем решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти точки, в которых функция может иметь локальные экстремумы.

1. Найдем производную функции \( f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6 \):
\[ f"(x) = 6x - 6x^2 \]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[ 6x - 6x^2 = 0 \]
\[ 6x(1 - x) = 0 \]

Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = 0 \] и \[ x_2 = 1 \]

3. Чтобы определить тип экстремума в каждой из найденных точек, нужно проверить знак второй производной или воспользоваться методом первой производной. Для этого найдем вторую производную функции \( f(x) \):
\[ f""(x) = 6 - 12x \]

4. Теперь определим знаки второй производной в точках \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \):
- При подстановке \( x = 0 \) получаем \( f""(0) = 6 > 0 \), что означает, что точка \( x = 0 \) является точкой минимума.
- При подстановке \( x = 1 \) получаем \( f""(1) = 6 - 12 = -6 < 0 \), что означает, что точка \( x = 1 \) является точкой максимума.

Таким образом, экстремумы функции \( f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6 \) находятся в точках:
- Минимум в точке \( x = 0 \)
- Максимум в точке \( x = 1 \)