Имеется: А(4; 0), B(12; -2), С(5; -9). В треугольнике АВС нужно найти: 1) периметр; 2) длину медианы АN; 3) координаты

Мороз_7021

13

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1) Расстояние между двумя точками на плоскости можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками: \[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Для нашей задачи расстояния между точками A и B, B и C, а также C и A равны:

\[d_{AB} = \sqrt{{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2}} = \sqrt{{8^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{64 + 4}} = \sqrt{{68}}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2}} = \sqrt{{(-7)^2 + (-7)^2}} = \sqrt{{49 + 49}} = \sqrt{{98}}\]

\[d_{CA} = \sqrt{{(4 - 5)^2 + (0 - (-9))^2}} = \sqrt{{(-1)^2 + 9^2}} = \sqrt{{1 + 81}} = \sqrt{{82}}\]

Теперь мы можем найти периметр треугольника АВС, который равен сумме всех трех сторон:

\[P = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} = \sqrt{{68}} + \sqrt{{98}} + \sqrt{{82}}\]

2) Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Чтобы найти длину медианы АN, нам нужно найти середину стороны BC.

Координаты середины стороны BC можно найти с помощью формулы середины отрезка:

\[x_{BC_{mid}} = \frac{{x_B + x_C}}{2} = \frac{{12 + 5}}{2} = \frac{{17}}{2} = 8.5\]

\[y_{BC_{mid}} = \frac{{y_B + y_C}}{2} = \frac{{-2 + (-9)}}{2} = \frac{{-11}}{2} = -5.5\]

Точка N имеет координаты (8.5, -5.5).

Теперь, чтобы найти длину медианы АN, нам нужно найти расстояние между точками A и N с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[d_{AN} = \sqrt{{(8.5 - 4)^2 + (-5.5 - 0)^2}} = \sqrt{{4.5^2 + (-5.5)^2}} = \sqrt{{20.25 + 30.25}} = \sqrt{{50.5}}\]

3) Чтобы найти координаты центра описанной окружности треугольника АВС, нам понадобятся середины сторон треугольника.

Координаты середины стороны AB:

\[x_{AB_{mid}} = \frac{{x_A + x_B}}{2} = \frac{{4 + 12}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\]

\[y_{AB_{mid}} = \frac{{y_A + y_B}}{2} = \frac{{0 + (-2)}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1\]

Координаты середины стороны AC:

\[x_{AC_{mid}} = \frac{{x_A + x_C}}{2} = \frac{{4 + 5}}{2} = \frac{{9}}{2} = 4.5\]

\[y_{AC_{mid}} = \frac{{y_A + y_C}}{2} = \frac{{0 + (-9)}}{2} = \frac{{-9}}{2} = -4.5\]

Теперь, мы можем найти уравнение прямой, проходящей через середину стороны AB и сторону AB:

\[k_{AB} = \frac{{y_B - y_{AB_{mid}}}}{{x_B - x_{AB_{mid}}}} = \frac{{-2 - (-1)}}{{12 - 8}} = \frac{{-1}}{{4}}\]

\[b_{AB} = y_{AB_{mid}} - k_{AB} \cdot x_{AB_{mid}} = -1 - \left(\frac{{-1}}{{4}}\right) \cdot 8 = -1 + 2 = 1\]

Аналогично, уравнение прямой, проходящей через середину стороны AC и сторону AC:

\[k_{AC} = \frac{{y_C - y_{AC_{mid}}}}{{x_C - x_{AC_{mid}}}} = \frac{{-9 - (-4.5)}}{{5 - 4.5}} = \frac{{-4.5}}{{0.5}} = -9\]

\[b_{AC} = y_{AC_{mid}} - k_{AC} \cdot x_{AC_{mid}} = -4.5 - (-9) \cdot 4.5 = -4.5 + 40.5 = 36\]

Теперь найдем координаты точки пересечения этих двух прямых (центра описанной окружности):

\[x_{center} = \frac{{b_{AC} - b_{AB}}}{{k_{AB} - k_{AC}}} = \frac{{36 - 1}}{{\frac{{-1}}{{4}} - (-9)}} = \frac{{35}}{{\frac{{37}}{{4}}}} = \frac{{140}}{{37}}\]

\[y_{center} = k_{AB} \cdot x_{center} + b_{AB} = \left(\frac{{-1}}{{4}}\right) \cdot \frac{{140}}{{37}} + 1 = -\frac{{35}}{{37}} + 1 = \frac{{2}}{{37}}\]

Таким образом, координаты центра описанной окружности равны \(\left(\frac{{140}}{{37}}, \frac{{2}}{{37}}\right)\).

Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем использовать расстояние между центром описанной окружности и одной из вершин. Давайте воспользуемся расстоянием между центром описанной окружности и вершиной A:

\[r = \sqrt{{(x_A - x_{center})^2 + (y_A - y_{center})^2}} = \sqrt{{\left(4 - \frac{{140}}{{37}}\right)^2 + \left(0 - \frac{{2}}{{37}}\right)^2}}\]

После вычислений мы найдем радиус описанной окружности треугольника АВС.