Интерпретировать, ! в пирамиде sabc заданы длины рёбер: ab = ac = 29, bc = sa = 25, sb = sc = 13. а) Продемонстрируйте

Сквозь_Песок_3696

16

а) Чтобы показать, что линия \(sa\) является перпендикуляром к линии \(bc\), мы должны доказать, что вектор, параллельный \(sa\), перпендикулярен вектору, параллельному \(bc\).

Для этого найдем векторы, параллельные \(sa\) и \(bc\).

Пусть \(A\) - точка, соответствующая вершине \(a\) пирамиды, \(B\) - точка, соответствующая вершине \(b\), \(C\) - точка, соответствующая вершине \(c\), и \(S\) - точка, соответствующая вершине \(s\).

Вектор, параллельный \(sa\), будет равен \(\overrightarrow{AS}\), а вектор, параллельный \(bc\), будет равен \(\overrightarrow{BC}\).

Теперь найдем значения этих векторов:

\(\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{S}\)

\(\overrightarrow{AS} = (x_{A} -x_{S})\overrightarrow{i} + (y_{A} -y_{S})\overrightarrow{j} + (z_{A} -z_{S})\overrightarrow{k}\)

Подставим известные значения координат вектора \(\overrightarrow{AS}\):

\(\overrightarrow{AS} = (0 - 25)\overrightarrow{i} + (0 - 13)\overrightarrow{j} + (0 - 0)\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{AS} = -25\overrightarrow{i} - 13\overrightarrow{j}\)

Вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно выразить аналогичным образом:

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}\)

\(\overrightarrow{BC} = (x_{B} -x_{C})\overrightarrow{i} + (y_{B} -y_{C})\overrightarrow{j} + (z_{B} -z_{C})\overrightarrow{k}\)

Подставим известные значения координат вектора \(\overrightarrow{BC}\):

\(\overrightarrow{BC} = (0 - 0)\overrightarrow{i} + (0 - 0)\overrightarrow{j} + (29 - 29)\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{BC} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}\)

Теперь, чтобы показать, что векторы \(\overrightarrow{AS}\) и \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярны, мы должны убедиться, что их скалярное произведение равно нулю.

\(\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC} = (-25)(0) + (-13)(0) = 0\)

Таким образом, мы доказали, что линия \(sa\) является перпендикуляром к линии \(bc\).

б) Чтобы расcчитать угол между линией \(sa\) и плоскостью, нам понадобится найти нормальный вектор плоскости и вектор, параллельный линии \(sa\).

Пусть \(P\) - точка в плоскости, лежащая на линии \(sa\), а \(N\) - нормальный вектор плоскости.

Вектор, параллельный линии \(sa\), будет равен \(\overrightarrow{SP}\).

Что бы найти нормальный вектор плоскости, нам нужно использовать векторное произведение векторов, параллельных плоскости. Определим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), которые лежат в плоскости.

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}\)

\(\overrightarrow{AB} = (x_{A} - x_{B})\overrightarrow{i} + (y_{A} - y_{B})\overrightarrow{j} + (z_{A} - z_{B})\overrightarrow{k}\)

Подставим известные значения координат вектора \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{AB} = (0 - 0)\overrightarrow{i} + (0 - 0)\overrightarrow{j} + (29 - 25)\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{AB} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}\)

\(\overrightarrow{AC} = (x_{A} - x_{C})\overrightarrow{i} + (y_{A} - y_{C})\overrightarrow{j} + (z_{A} - z_{C})\overrightarrow{k}\)

Подставим известные значения координат вектора \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AC} = (0 - 0)\overrightarrow{i} + (0 - 0)\overrightarrow{j} + (29 - 29)\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{AC} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}\)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{N} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}\)

\(\overrightarrow{N} = 0\overrightarrow{i} - 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k} = \overrightarrow{0}\)

Таким образом, мы видим, что нормальный вектор плоскости равен нулевому вектору. Это означает, что плоскость принадлежит координатной плоскости \(xy\).

Угол между линией \(sa\) и плоскостью равен углу между вектором, параллельным \(sa\), и нормальным вектором плоскости.

Так как нормальный вектор плоскости равен нулевому вектору, а угол между любым вектором и нулевым вектором равен 0 градусов, то угол между линией \(sa\) и плоскостью также равен 0 градусов.

Таким образом, угол между линией \(sa\) и плоскостью равен 0 градусов.