Is it possible to rewrite the expression log(6-8x^2)(36-64x^4) in a different form while retaining its meaning

Dzhek

35

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей!

Исходное выражение: \(\log(6-8x^2)(36-64x^4)\).

Давайте разберемся, что такое логарифм и как можно переписать это выражение.

Логарифм - это обратная функция к возведению числа в степень. В математике мы используем общепринятый натуральный логарифм, обозначаемый как \(\log\).

В данном случае, мы имеем два множителя внутри логарифма: \(6-8x^2\) и \(36-64x^4\). Попробуем переписать их в более удобной форме.

Сначала, давайте посмотрим на первый множитель: \(6-8x^2\). Мы можем использовать формулу разности квадратов, чтобы переписать его. Формула разности квадратов гласит: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

Применяя эту формулу, мы получаем: \(6-8x^2 = (2\sqrt{6} - 2x\sqrt{2})(2\sqrt{6} + 2x\sqrt{2})\).

Теперь давайте рассмотрим второй множитель: \(36-64x^4\). Данный множитель также можно переписать с использованием формулы разности квадратов. Однако, прежде чем продолжить, нам понадобится факторизовать \(36\) и \(64\).

Факторизуем \(36\): \(36 = 6 \cdot 6\).

Факторизуем \(64\): \(64 = 8 \cdot 8 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)\).

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов к множителю \(36-64x^4\):
\(36-64x^4 = (6-8x^2)(6+8x^2)(2-2x\sqrt{2})(2+2x\sqrt{2})\).

Таким образом, исходное выражение \(\log(6-8x^2)(36-64x^4)\) может быть переписано в следующем виде:
\[\log((2\sqrt{6} - 2x\sqrt{2})(2\sqrt{6} + 2x\sqrt{2}))(6+8x^2)(2-2x\sqrt{2})(2+2x\sqrt{2})\].

Мы успешно переписали исходное выражение, сохраняя его смысл и объем, и разбили его на более простые множители с использованием формулы разности квадратов.