Каков результат выражения х*2/х*2-3ху : х/х*2-9у*2 при х=5+3 корень из 6, у=2-корень?

Filipp_6026

28

Давайте решим данное выражение поэтапно.

Шаг 1: Подставим значения переменных в выражение.

Заменим \( x \) на \( 5 + 3 \sqrt{6} \) и \( y \) на \( 2 - \sqrt{3} \).

\[ \frac{{(5+3\sqrt{6}) \cdot 2}}{{5+3\sqrt{6}} \cdot 2 - 3(5+3\sqrt{6})(2-\sqrt{3})}} \div \frac{{5+3\sqrt{6}}}{{(5+3\sqrt{6})^2 - 9(2-\sqrt{3})^2}} \]

Шаг 2: Упростим числитель.

\[ (5+3\sqrt{6}) \cdot 2 = 10 + 6\sqrt{6} \]

Шаг 3: Упростим знаменатель (1-ая часть).

\[ (5+3\sqrt{6}) \cdot 2 - 3(5+3\sqrt{6})(2-\sqrt{3}) = 10 + 6\sqrt{6} - 3(5+3\sqrt{6})(2-\sqrt{3}) \]

Шаг 4: Упростим знаменатель (2-ая часть).

\[ (5+3\sqrt{6})^2 - 9(2-\sqrt{3})^2 = (5+3\sqrt{6})^2 - 9(4-4\sqrt{3}+3) \]

Раскроем выражения в скобках:

\[ (5+3\sqrt{6})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{6} + (3\sqrt{6})^2 \]
\[ = 25 + 30\sqrt{6} + 54 \]
\[ = 79 + 30\sqrt{6} \]

\[ (2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \]
\[ = 4 - 4\sqrt{3} + 3 \]
\[ = 7 - 4\sqrt{3} \]

Теперь можем заменить значения в знаменателе:

\[ (5+3\sqrt{6})^2 - 9(2-\sqrt{3})^2 = 79 + 30\sqrt{6} - 9(7 - 4\sqrt{3}) \]
\[ = 79 + 30\sqrt{6} - 63 + 36\sqrt{3} \]
\[ = 16 + 30\sqrt{6} + 36\sqrt{3} \]

Шаг 5: Разделим числитель на знаменатель.

\[ \frac{{10 + 6\sqrt{6}}}{{10 + 6\sqrt{6} - 3(5+3\sqrt{6})(2-\sqrt{3})}} \div \frac{{5+3\sqrt{6}}}{{16 + 30\sqrt{6} + 36\sqrt{3}}} \]

Шаг 6: Упростим деление.

Чтобы разделить две дроби, мы выражение в числителе первой дроби умножаем на обратную второй дроби.

\[ \frac{{10 + 6\sqrt{6}}}{{10 + 6\sqrt{6} - 3(5+3\sqrt{6})(2-\sqrt{3})}} \cdot \frac{{16 + 30\sqrt{6} + 36\sqrt{3}}}{{5+3\sqrt{6}}} \]

В числителе первой дроби раскрываем скобки:

\[ 10 + 6\sqrt{6} = 10 + 6\sqrt{6} \]

Заметим, что выражение \(10 + 6\sqrt{6}\) в числителе и знаменателе сократятся, поэтому результат будет:

\[ \frac{{16 + 30\sqrt{6} + 36\sqrt{3}}}{{5+3\sqrt{6}}} \]

или

\[ 16 + 30\sqrt{6} + 36\sqrt{3} \div (5+3\sqrt{6}) \]