Is there a different way to express the equation x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8) log4 (3 – x) / log 2^2 (x-3)^2?

Schelkunchik

22

Конечно! Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

1. Начнем с исходного уравнения:
\(x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8 = \frac{{\log_{4}(3 - x)}}{{\log_{2^2}((x-3)^2)}}\)

2. Обратим внимание на уравнение справа. Мы видим два логарифма: \(\log_{4}(3 - x)\) и \(\log_{2^2}((x-3)^2)\). Для более удобной работы приведем оба логарифма к общему основанию 2^2:
\(x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8 = \frac{{\log_{2^2}(3 - x)}}{{\log_{2^2}((x-3)^2)}}\)

3. Вспомним свойство логарифма: \(\log_{a}(b^c) = c \cdot \log_{a}(b)\). Применим это свойство к обоим логарифмам в уравнении:
\(x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8 = \frac{{\log_{2^2}(3 - x)}}{{2 \cdot \log_{2^2}(x-3)}}\)

4. Заметим, что \(\log_{2^2}\) эквивалентен обычному логарифму по основанию 2: \(\log_{2^2}(a) = \log_{2}(a)\). Заменим \(\log_{2^2}\) на \(\log_{2}\):
\(x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8 = \frac{{\log_{2}(3 - x)}}{{2 \cdot \log_{2}(x-3)}}\)

5. Грубо говоря, мы хотим найти другой способ записи исходного уравнения. Обратим внимание на правую часть уравнения. В этой части мы имеем отношение двух логарифмов с одинаковым основанием 2. Это может быть записано в виде одного логарифма с использованием свойства дробления логарифма:
\(x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8 = \log_{2}(3 - x) - \log_{2}((x-3)^2)\)

6. Опять же применим свойство логарифма \(\log_{a}(b) - \log_{a}(c) = \log_{a}(\frac{b}{c})\):
\(x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8 = \log_{2}(\frac{{3 - x}}{{(x-3)^2}})\)

7. Теперь рассмотрим левую часть уравнения. Заметим, что \(x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8\) представляет собой квадратный трехчлен, который не имеет явного корня или сокращений. Поэтому мы не можем упростить или преобразовать его в более простое выражение.

8. В итоге, уравнение можно выразить следующим образом:
\(\log_{2}(\frac{{3 - x}}{{(x-3)^2}}) = x^2e^x - 4e^х+ 2x^2 - 8\)

Это альтернативный способ записи данного уравнения, который сводит его к равенству двух выражений.