Исследуйте монотонность и экстремумы функции y=x-1/3(2+7x)^6/7 на интервале (15, и найдите наибольшие и наименьшие

Путешественник

18

Для исследования монотонности и нахождения экстремумов функции y=x-\frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}} на интервале (15, сначала вычислим производную данной функции. Затем найдем точки, в которых производная равна 0 или не существует, и проверим их на убывание и возрастание функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x с помощью правила дифференцирования сложной функции (chain rule):
\[y"(x) = 1 - \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{7}(2+7x)^{-\frac{1}{7}}\cdot7 = 1 - \frac{2}{(2+7x)^{\frac{1}{7}}}\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна 0 или не существует. Для этого решим уравнение:
\[1 - \frac{2}{(2+7x)^{\frac{1}{7}}} = 0\]

Упростим уравнение, умножив обе части на \((2+7x)^{\frac{1}{7}}\):
\[(2+7x)^{\frac{1}{7}} = 2\]

Возводим обе части уравнения в степень 7:
\[2+7x = 2^7 = 128\]

Вычитаем 2 из обеих частей уравнения:
\[7x = 126\]

Делим обе части уравнения на 7:
\[x = \frac{126}{7} = 18\]

Шаг 3: Проверим точку x = 18 на монотонность. Для этого возьмем произвольные значения x_1 и x_2 на интервале (15, 18), и сравним значения y(x_1) и y(x_2) с y(18).

Пример: Пусть x_1 = 16 и x_2 = 17.
\[y(16) = 16 - \frac{1}{3}(2+7\cdot16)^{\frac{6}{7}} \approx 16 - \frac{1}{3}(114)^{\frac{6}{7}} \approx 15.970\]
\[y(17) = 17 - \frac{1}{3}(2+7\cdot17)^{\frac{6}{7}} \approx 17 - \frac{1}{3}(131)^{\frac{6}{7}} \approx 16.981\]
\[y(18) = 18 - \frac{1}{3}(2+7\cdot18)^{\frac{6}{7}} \approx 18 - \frac{1}{3}(148)^{\frac{6}{7}} \approx 18.000\]

Мы видим, что для всех значений x на интервале (15, 18), y(18) является наибольшим значением. Следовательно, наибольшее значение функции y достигается при x = 18.

Шаг 4: Аналогично проверяем значение функции на наименьшее. Берем две произвольные точки x_1 и x_2 на интервале (18, бесконечность) и сравниваем значения y(x_1) и y(x_2) с y(18).

Пример: Пусть x_1 = 20 и x_2 = 21.
\[y(20) = 20 - \frac{1}{3}(2+7\cdot20)^{\frac{6}{7}} \approx 20 - \frac{1}{3}(142)^{\frac{6}{7}} \approx 19.571\]
\[y(21) = 21 - \frac{1}{3}(2+7\cdot21)^{\frac{6}{7}} \approx 21 - \frac{1}{3}(159)^{\frac{6}{7}} \approx 20.632\]
\[y(18) = 18 - \frac{1}{3}(2+7\cdot18)^{\frac{6}{7}} \approx 18 - \frac{1}{3}(148)^{\frac{6}{7}} \approx 18.000\]

Мы видим, что для всех значений x на интервале (18, бесконечность), y(18) является наименьшим значением. Следовательно, наименьшее значение функции y достигается при x = 18.

Итак, монотонность данной функции y=x-\frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}} на интервале (15, состоит из убывания на отрезке (15,18] и убывания на интервале (18, бесконечность).

Максимальное значение функции y равно 18.000 и достигается при x = 18, а минимальное значение функции y равно 18.000 и также достигается при x = 18.