Как решить следующее уравнение, имеющее отношение к тригонометрии: 2sin^2x+3cosx=0?

Суслик_4120

64

Для решения уравнения \(2\sin^2x + 3\cos x = 0\) нам нужно применить некоторые свойства тригонометрии и алгебры.

Шаг 1: Преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества, чтобы избавиться от синусов и косинусов одновременно. Воспользуемся тригонометрическим соотношением \(\sin^2x + \cos^2x = 1\):

\(\sin^2x = 1 - \cos^2x\)

Подставим это в исходное уравнение:

\(2(1 - \cos^2x) + 3\cos x = 0\)

\(2 - 2\cos^2x + 3\cos x = 0\)

Шаг 2: Приведем уравнение к квадратному виду. Умножим все слагаемые на -1, чтобы поменять знаки:

\(-2 + 2\cos^2x - 3\cos x = 0\)

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\(2\cos^2x - 3\cos x + 2 = 0\)

Шаг 3: Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -3\) и \(c = 2\).

Используем формулу дискриминанта, чтобы найти значения \(x\):

\(\Delta = b^2 - 4ac\)

\(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2\)

\(\Delta = 9 - 16\)

\(\Delta = -7\)

Поскольку дискриминант \(\Delta\) отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней.

Шаг 4: В данном случае, чтобы найти решение уравнения, нам необходимо использовать тригонометрические свойства. Поймем, что если \(\cos x = 1\), то уравнение имеет решение. Проверим:

\(2\cos^2x - 3\cos x + 2 = 0\)

\(2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 0\)

\(2 - 3 + 2 = 0\)

\(-1 = 0\) - Уравнение не верно, получаем ложь.

Таким образом, данное уравнение \(\sin^2x + \cos x = 0\) не имеет решений в области вещественных чисел.

\(\sin^2x + \cos x = 0\)