Из 40 коробок с елочными игрушками на складе упала часть игрушек из 4 коробок. Далее было отгружено 20 коробок

Yarus

29

Для решения данной задачи нам понадобится знание о вероятности событий. Вероятность - это число, которое показывает, насколько возможно наступление определенного события. В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что в отгруженные 20 коробок попадут две поврежденные.

Для начала определим общее количество комбинаций, которые могут получиться при отгрузке 20 коробок из 40. Мы можем выбрать какие-то 20 коробок из 40, и порядок выбранных коробок не имеет значения. Для этого воспользуемся формулой числа сочетаний:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Где \(C_n^k\) - это количество сочетаний из \(n\) по \(k\), а \(n!\) - это факториал числа \(n\). В нашем случае, \(n = 40\) и \(k = 20\), поэтому количество комбинаций будет равно:

\[
C_{40}^{20} = \frac{{40!}}{{20!(40-20)!}} = \frac{{40!}}{{20!20!}}
\]

Теперь нам нужно определить, сколько способов выбрать две поврежденные коробки из 4. Воспользуемся той же формулой:

\[
C_4^2 = \frac{{4!}}{{2!(4-2)!}} = \frac{{4!}}{{2!2!}}
\]

Таким образом, вероятность того, что в магазин попадут две поврежденные коробки, равна отношению количества способов выбрать две поврежденные коробки к общему количеству комбинаций:

\[
P = \frac{{C_4^2}}{{C_{40}^{20}}}
\]

Вычислим это значение:

\[
P = \frac{{\frac{{4!}}{{2!2!}}}}{{\frac{{40!}}{{20!20!}}}}
\]

\[
P = \frac{{4!20!20!}}{{2!2!40!}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 20! \cdot 20!}}{{2!2!40!}}
\]

Зная, что \(n! = n \cdot (n-1)!\), можем упростить выражение:

\[
P = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 20! \cdot 20!}}{{2 \cdot 1 \cdot (40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1) \cdot (20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1)}}
\]

Все факториалы от 2 до 20 сокращаются в числителе и знаменателе, поэтому получаем:

\[
P = \frac{{4 \cdot 3}}{{40 \cdot 39}} = \frac{3}{13}
\]

Таким образом, вероятность того, что в магазин попадут две поврежденные коробки с игрушками, составляет \(\frac{3}{13}\).