Известно, что 6a/b-1 является целым числом и кратным

Пума_6680

26

данному числу 3. Найдите все возможные значения a и b.

Для начала, давайте проанализируем условие задачи. Нам сказано, что выражение \(\frac{6a}{b} - 1\) является целым числом и кратным 3. Давайте разберемся, какие условия это накладывает на значения переменных a и b.

Мы знаем, что выражение \(\frac{6a}{b} - 1\) является целым числом. Это означает, что числитель 6a должен быть кратен знаменателю b, иначе дробь не будет представлять целое число. То есть, должно выполняться условие \(6a \equiv 0 \mod b\).

Далее, нам сказано, что это целое число также является кратным 3. Это означает, что сумма всех цифр этого числа должна быть кратна 3. Давайте проанализируем это более подробно.

Выражение \(\frac{6a}{b} - 1\) можно представить в виде общей дроби:
\(\frac{6a - b}{b}\)

Мы знаем, что это целое число и кратно 3, поэтому мы можем представить его в виде \(3k\), где k - какое-то целое число. То есть, у нас есть уравнение:
\(\frac{6a - b}{b} = 3k\)

Умножим обе части уравнения на b, чтобы избавиться от знаменателя:
\(6a - b = 3kb\)

Представим это уравнение в виде общего уравнения:
\(6a = (3k + 1)b\)

Теперь мы имеем уравнение, зависящее от двух переменных a и b. Чтобы найти все возможные значения a и b, необходимо рассмотреть возможные значения k и провести анализ.

Уравнение \(6a = (3k + 1)b\) означает, что b должно делить 6a. Проверим все возможные значения k и найдем соответствующие значения a и b.

1. Пусть k = 0. Тогда \(6a = b\). Возможные значения a и b: (a=1, b=6), (a=2, b=12), (a=3, b=18), (a=4, b=24), (a=5, b=30), (a=6, b=36).

2. Пусть k = 1. Тогда \(6a = 3b + 1\). Уравнение не имеет целочисленных решений для a и b.

3. Пусть k = 2. Тогда \(6a = 6b + 1\). Уравнение не имеет целочисленных решений для a и b.

4. Пусть k = 3. Тогда \(6a = 9b + 1\). Уравнение не имеет целочисленных решений для a и b.

И так далее. Мы видим, что для k > 0 уравнение не имеет целочисленных решений для a и b. Таким образом, единственные возможные значения a и b являются (a=1, b=6), (a=2, b=12), (a=3, b=18), (a=4, b=24), (a=5, b=30) и (a=6, b=36).

Проверим, что для этих значений a и b выполняется условие, что \(\frac{6a}{b} - 1\) является целым числом и кратным 3:

При (a=1, b=6): \(\frac{6a}{b} - 1 = 1 - 1 = 0\), число кратно 3.
При (a=2, b=12): \(\frac{6a}{b} - 1 = \frac{12}{12} - 1 = 1 - 1 = 0\), число кратно 3.
При (a=3, b=18): \(\frac{6a}{b} - 1 = \frac{18}{18} - 1 = 1 - 1 = 0\), число кратно 3.
При (a=4, b=24): \(\frac{6a}{b} - 1 = \frac{24}{24} - 1 = 1 - 1 = 0\), число кратно 3.
При (a=5, b=30): \(\frac{6a}{b} - 1 = \frac{30}{30} - 1 = 1 - 1 = 0\), число кратно 3.
При (a=6, b=36): \(\frac{6a}{b} - 1 = \frac{36}{36} - 1 = 1 - 1 = 0\), число кратно 3.

Таким образом, все найденные значения удовлетворяют условию задачи: \(\frac{6a}{b} - 1\) является целым числом и кратным 3.