1) Какое количество перестановок можно получить, используя буквы слова пенал ? 2) Сколько различных слов можно

Sladkiy_Angel

22

Решение:

1) Для подсчета количества перестановок слова "пенал" мы можем использовать формулу для перестановок с повторениями. В данном случае у нас есть 5 букв, и некоторые из них повторяются. Используя формулу \(P = \frac{{n!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, \(n_1, n_2, ..., n_k\) - количество повторяющихся элементов, можно вычислить количество перестановок:

\[
P = \frac{{5!}}{{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}}
\]

Вычислив значение, получаем:

\[
P = \frac{{5!}}{{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}} = \frac{{120}}{{1}} = 120
\]

Таким образом, можно получить 120 различных перестановок букв слова "пенал".

2) Чтобы найти количество различных слов, которые можно образовать из букв слова "реферат", мы можем использовать формулу для комбинаций без повторений. В данном случае у нас есть 7 букв, и некоторые из них повторяются. Используя формулу \(C = \frac{{n!}}{{(n-k)! \cdot k!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, из которых образуется слово, \(n-k\) - количество элементов, которые не выбираются, можно вычислить количество слов:

\[
C = \frac{{7!}}{{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}}
\]

Вычислив значение, получаем:

\[
C = \frac{{7!}}{{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}} = \frac{{5040}}{{2}} = 2520
\]

Таким образом, можно образовать 2520 различных слов из букв слова "реферат".

3) Для определения количества различных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2 и 3, мы можем использовать формулу для комбинаций без повторений. У нас есть 2 различных цифры (2 и 3), и нам необходимо выбрать 3 цифры для составления чисел. Используя формулу \(C = \frac{{n!}}{{(n-k)! \cdot k!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, из которых образуется число, \(n-k\) - количество элементов, которые не выбираются, можно вычислить количество чисел:

\[
C = \frac{{2!}}{{(2-3)! \cdot 3!}}
\]

Однако, \(n-k\) должно быть равно либо 0, либо положительному числу. В данном случае \(2-3 = -1\) и формула неприменима. Таким образом, невозможно составить трехзначные числа из цифр 2 и 3.

4) Чтобы определить количество различных трехзначных чисел, которые можно составить, используя цифры 5, 7, 9 и 1, мы можем использовать формулу для перестановок без повторений. У нас есть 4 различные цифры, и нам необходимо выбрать их для составления чисел. Используя формулу \(P = n!\), где \(n\) - общее количество элементов, можно вычислить количество чисел:

\[
P = 4!
\]

Вычислив значение, получаем:

\[
P = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
\]

Таким образом, можно составить 24 различных трехзначных числа, используя цифры 5, 7, 9 и 1.

5) Чтобы определить количество возможных трехкнопочных комбинаций на кодовом замке с одновременным нажатием всех трех кнопок, если доступно всего 10 цифр, мы можем использовать формулу для комбинаций без повторений. У нас есть 10 цифр, и нам необходимо выбрать 3 цифры для комбинации. Используя формулу \(C = \frac{{n!}}{{(n-k)! \cdot k!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, из которых образуется комбинация, \(n-k\) - количество элементов, которые не выбираются, можно вычислить количество комбинаций:

\[
C = \frac{{10!}}{{(10-3)! \cdot 3!}}
\]

Вычислив значение, получаем:

\[
C = \frac{{10!}}{{7! \cdot 3!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120
\]

Таким образом, возможно 120 трехкнопочных комбинаций на кодовом замке, при условии одновременного нажатия всех трех кнопок.