Известно, что сторона ВС равна 5 см, угол B составляет 42 градуса, а угол C равен 120 градусам. Найдите длины сторон

Ящерица

53

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), \(C\) - противолежащие углы.

Давайте найдем длину стороны АС, угол A и сторону АВ поочередно.

Для начала, найдем длину стороны АС.

Мы знаем, что сторона ВС равна 5 см. По теореме синусов, мы можем записать:

\[\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)}\]

Подставляя известные значения:

\[\frac{AC}{\sin(42)} = \frac{5}{\sin(120)}\]

Вычисляя значения синусов этих углов, получаем:

\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[AC = 5\cdot\sqrt{3}\]

Таким образом, длина стороны АС равна \(5\cdot\sqrt{3}\) см.

Теперь давайте найдем угол A.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Мы можем использовать это для вычисления угла A:

\[A = 180 - B - C = 180 - 42 - 120 = 18\]

Таким образом, угол A равен 18 градусов.

Наконец, давайте найдем длину стороны АВ.

Мы можем использовать теорему синусов еще раз:

\[\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)}\]

Подставляя известные значения:

\[\frac{AB}{\sin(120)} = \frac{5}{\sin(18)}\]

Вычисляя значения синусов этих углов, получаем:

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\sin(18)}\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[AB = \frac{5\cdot\sin(18)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Вычисляя значение этого выражения, получаем:

\[AB \approx 6.77\] см (округляем до двух десятичных знаков)

Таким образом, длина стороны АВ примерно равна 6.77 см.

Теперь давайте найдем площадь треугольника.

Мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(B)\]

Подставляя известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6.77 \cdot 5 \cdot \sin(42)\]

Вычисляя значение этого выражения, получаем:

\[S \approx 9.68\] кв. см (округляем до двух десятичных знаков)

Таким образом, площадь треугольника примерно равна 9.68 кв. см.