К какому положительному числу было прибавлено 60, а затем еще 103, чтобы в обоих случаях получились квадраты целых

Милочка

15

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Мы ищем положительное число, которое после добавления 60 и 103 станет полным квадратом целого числа. Для решения этой задачи, давайте предположим, что искомое число равно $x$.

После добавления 60 к числу $x$ мы получаем $x+60$. Мы хотим, чтобы это число было полным квадратом целого числа, поэтому пусть $x+60=a^2$ для некоторого целого числа $a$.

Затем мы добавляем 103 к числу $x$, получая $x+103$. Мы также хотим, чтобы это число было полным квадратом целого числа, поэтому пусть $x+103=b^2$ для некоторого целого числа $b$.

Теперь мы составляем систему уравнений на основе данных:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x+60& =a^2\text{(2)}& x+103& =b^2\end{array}$$

Чтобы найти значение $x$, мы можем избавиться от $x$ в уравнениях (1) и (2). Вычтем $x$ из (2), чтобы получить выражение для $x$ в терминах $b$:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& 103=b^2-x\end{array}$$

Теперь мы знаем, что $x=b^2-103$ по уравнению (3).

Заменим $x$ в уравнении (1) с $b^2-103$:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& b^2-103+60=a^2\end{array}$$

Упростим это уравнение:

$$\begin{array}{}\text{(5)}& b^2-43=a^2\end{array}$$

Таким образом, нам нужно найти целочисленные значения $a$ и $b$, для которых уравнение (5) будет выполнено.

Просмотрев различные значения $b$ и вычислив соответствующие значения $a$, мы находим, что $b=8$ и $a=5$ удовлетворяют уравнению (5).

Таким образом, число $x$ равно:

$$x=b^2-103=8^2-103=64-103=-39$$

Однако, в условии задачи указано, что число должно быть положительным. Поэтому, в данном случае, ответ является недопустимым. Следовательно, нет положительного числа, к которому было прибавлено 60 и 103, чтобы в обоих случаях получились квадраты целых чисел.