К какому положительному числу было прибавлено 60, а затем еще 103, чтобы в обоих случаях получились квадраты целых

Милочка

15

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Мы ищем положительное число, которое после добавления 60 и 103 станет полным квадратом целого числа. Для решения этой задачи, давайте предположим, что искомое число равно \(x\).

После добавления 60 к числу \(x\) мы получаем \(x + 60\). Мы хотим, чтобы это число было полным квадратом целого числа, поэтому пусть \(x + 60 = a^2\) для некоторого целого числа \(a\).

Затем мы добавляем 103 к числу \(x\), получая \(x + 103\). Мы также хотим, чтобы это число было полным квадратом целого числа, поэтому пусть \(x + 103 = b^2\) для некоторого целого числа \(b\).

Теперь мы составляем систему уравнений на основе данных:

\[
\begin{align*}
x + 60 &= a^2 \tag{1} \\
x + 103 &= b^2 \tag{2}
\end{align*}
\]

Чтобы найти значение \(x\), мы можем избавиться от \(x\) в уравнениях (1) и (2). Вычтем \(x\) из (2), чтобы получить выражение для \(x\) в терминах \(b\):

\[
103 = b^2 - x \tag{3}
\]

Теперь мы знаем, что \(x = b^2 - 103\) по уравнению (3).

Заменим \(x\) в уравнении (1) с \(b^2 - 103\):

\[
b^2 - 103 + 60 = a^2 \tag{4}
\]

Упростим это уравнение:

\[
b^2 - 43 = a^2 \tag{5}
\]

Таким образом, нам нужно найти целочисленные значения \(a\) и \(b\), для которых уравнение (5) будет выполнено.

Просмотрев различные значения \(b\) и вычислив соответствующие значения \(a\), мы находим, что \(b = 8\) и \(a = 5\) удовлетворяют уравнению (5).

Таким образом, число \(x\) равно:

\[
x = b^2 - 103 = 8^2 - 103 = 64 - 103 = -39
\]

Однако, в условии задачи указано, что число должно быть положительным. Поэтому, в данном случае, ответ является недопустимым. Следовательно, нет положительного числа, к которому было прибавлено 60 и 103, чтобы в обоих случаях получились квадраты целых чисел.