Как доказать, что если a, b, c - целые числа и [tex] frac{ab + bc + ac}{a + b + c} [/tex] является целым числом

Ксения

43

Для доказательства данного утверждения давайте вначале рассмотрим, что значит то, что \(\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\) является целым числом.

Так как данное выражение является рациональным числом, чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы его числитель был кратен знаменателю. Это означает, что \((ab + bc + ac)\) должно быть кратно \((a + b + c)\).

Мы знаем, что \((ab + bc + ac) = (a + b + c)(a + b + c - 1)\), так как \((ab + bc + ac)\) можно переписать в виде \((a + b)(a + c) + bc\), и после раскрытия скобок получим \(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc\). Заметим, что \((a + b + c)\) является общим множителем для каждого слагаемого.

Теперь мы можем заметить, что представление \((ab + bc + ac) = (a + b + c)(a + b + c - 1)\) подходит и для выражения \((a^2 + b^2 + c^2)\). Поскольку мы хотим доказать, что \(\frac{{a^2 + b^2 + c^2}}{{a + b + c}}\) является целым числом, нам нужно убедиться, что числитель \((a^2 + b^2 + c^2)\) кратен знаменателю \((a + b + c)\).

Применяя то же представление, мы можем раскрыть скобки для \((a^2 + b^2 + c^2)\) и получим \((a + b + c)(a + b + c - 1) + (b^2 + c^2 + a^2 - ab - ac - bc)\). Заметим, что так как \((ab + bc + ac)\) кратно \((a + b + c)\), то и \((b^2 + c^2 + a^2 - ab - ac - bc)\) также кратно \((a + b + c)\).

Таким образом, мы доказали, что если \(\frac{{ab + bc + ac}}{{a + b + c}}\) является целым числом, то и \(\frac{{a^2 + b^2 + c^2}}{{a + b + c}}\) будет целым числом.

Это объяснение основывается на свойствах раскрытия скобок и факторизации выражений.