Как изменилась космическая скорость спутника, если его массу увеличили вдвое, а он запущен на круговую околоземную

Polyarnaya

63

Чтобы решить данную задачу, давайте воспользуемся законом сохранения момента импульса. Момент импульса \(\vec{L}\) системы остается постоянным при отсутствии внешних моментов сил.

Момент импульса вычисляется по формуле:

\[\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\]

Где \(\vec{r}\) - радиус-вектор относительно центра вращения, \(\vec{p}\) - импульс.

В нашей задаче спутник движется на круговой орбите, поэтому его момент импульса должен сохраняться. Изначально у спутника была определенная масса \(m\), скорость \(v\) и радиус орбиты \(R\). После увеличения массы вдвое момент импульса должен остаться постоянным, но скорость будет изменена.

Импульс спутника до изменения массы равен:
\[\vec{p}_{\text{до}} = m \cdot \vec{v}_{\text{до}}\]

Импульс спутника после изменения массы равен:
\[\vec{p}_{\text{после}} = (2m) \cdot \vec{v}_{\text{после}}\]

Так как момент импульса должен сохраняться, то:
\[\vec{L}_{\text{до}} = \vec{L}_{\text{после}}\]

Распишем формулы для момента импульса до и после увеличения массы:
\[\vec{L}_{\text{до}} = \vec{r}_{\text{до}} \times \vec{p}_{\text{до}} = R \cdot m \cdot \vec{v}_{\text{до}}\]
\[\vec{L}_{\text{после}} = \vec{r}_{\text{после}} \times \vec{p}_{\text{после}} = R \cdot (2m) \cdot \vec{v}_{\text{после}}\]

Из этих двух формул получаем:
\[R \cdot m \cdot \vec{v}_{\text{до}} = R \cdot (2m) \cdot \vec{v}_{\text{после}}\]

Упрощая выражение, получаем:
\[\vec{v}_{\text{до}} = 2 \cdot \vec{v}_{\text{после}}\]

Значит, скорость спутника после увеличения массы будет вдвое меньше скорости спутника до увеличения массы.

Ответ: d. уменьшилась в 4 раза