Как изменить график функции y=x^2+13x-3|x+7|+42 так, чтобы прямая y=m пересекалась с ним ровно три раза? Какие значения

Chernyshka

16

Чтобы определить, как изменить график функции так, чтобы он пересекался с прямой ровно три раза, мы должны рассмотреть различные варианты значений параметра \( m \) и найти соответствующие корни уравнения.

Перестроим функцию, разбивая её на несколько частей в зависимости от знака выражения \( x+7 \), так как модуль этого выражения задаёт условие разделения:

\[y = x^2 + 13x - 3 \cdot |x + 7| + 42\]

Если \( x < -7 \), то \( |x + 7| = -x - 7 \), и функция примет вид:

\[y = x^2 + 13x - 3(-x - 7) + 42 = x^2 + 16x + 63\]

Если \( -7 < x < 0 \), то \( |x + 7| = x + 7 \), и функция примет вид:

\[y = x^2 + 13x - 3(x + 7) + 42 = x^2 + 10x + 15\]

Если \( x > 0 \), то \( |x + 7| = x + 7 \), и функция примет вид:

\[y = x^2 + 13x - 3(x + 7) + 42 = x^2 + 10x + 15\]

Мы видим, что для второго и третьего случаев функция имеет одинаковый вид. В нашем рассмотрении возьмем эту общую формулу:

\[y = x^2 + 10x + 15\]

Теперь, чтобы прямая \( y = m \) пересеклась с графиком на протяжении трех различных точек, мы должны найти три значения параметра \( m \), при которых уравнение \( x^2 + 10x + 15 = m \) имеет три различных решения.

Решим это квадратное уравнение:

\[x^2 + 10x + 15 - m = 0\]

Мы знаем, что количество корней \( k \) квадратного уравнения можно определить по формуле дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 10 \), \( c = 15 - m \). Теперь найдем значения \( m \), при которых дискриминант будет положительным, что гарантирует наличие двух различных корней:

\[D > 0\]

\[10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15 - m) > 0\]

\[100 - 4(15 - m) > 0\]

\[100 - 60 + 4m > 0\]

\[4m > -40\]

\[m > -10\]

Таким образом, значения \( m \), большие -10, приведут к тому, что прямая \( y = m \) пересечет график функции \( y = x^2 + 10x + 15 \) ровно три раза.

Обратите внимание, что эти значения m будут различными для разных учеников в зависимости от конкретной задачи или ситуации.