1. Какой наименьший угол имеет треугольник с длинами сторон 14 см, 16 см и 18 см? Укажите ответ в градусах, округлив

Барон

45

1. Для нахождения наименьшего угла треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Формула для этой теоремы выглядит следующим образом:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\) - наибольший угол треугольника.

Давайте найдем наибольший угол треугольника:

\[A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)\]

Подставляя значения сторон треугольника \(a = 14\), \(b = 16\), и \(c = 18\), мы получим:

\[A = \arccos\left(\frac{16^2 + 18^2 - 14^2}{2 \cdot 16 \cdot 18}\right)\]

Вычисляя это выражение, получаем:

\[A \approx \arccos\left(\frac{256 + 324 - 196}{576}\right) \approx \arccos\left(\frac{384}{576}\right) \approx \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\]

Чтобы найти наименьший угол треугольника, мы можем использовать факт, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Мы знаем наибольший угол \(A\), поэтому можем записать:

\[180 = A + B + C\]

где \(B\) и \(C\) - оставшиеся два угла треугольника, которые мы хотим найти. Таким образом,

\[B + C = 180 - A\]

Так как наш треугольник может быть остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, наш наименьший угол будет составлять либо угол \(B\) либо угол \(C\). Поэтому мы хотим найти минимальное значение из \(B\) и \(C\).

Применяя формулу косинусов к углу \(B\) и углу \(C\), мы получим:

\[\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

\[\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Учитывая, что \(A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)\), мы можем переписать эти формулы следующим образом:

\[\cos(B) = \frac{16^2 + 18^2 - 14^2}{2 \cdot 16 \cdot 18}\]

\[\cos(C) = \frac{16^2 + 14^2 - 18^2}{2 \cdot 16 \cdot 14}\]

Теперь можем вычислить значения углов \(B\) и \(C\) с использованием обратной функции косинуса:

\[B = \arccos\left(\frac{16^2 + 18^2 - 14^2}{2 \cdot 16 \cdot 18}\right)\]

\[C = \arccos\left(\frac{16^2 + 14^2 - 18^2}{2 \cdot 16 \cdot 14}\right)\]

Чтобы найти наименьший угол треугольника, мы сравниваем значения \(B\) и \(C\) и выбираем меньшее. Приводим значения \(B\) и \(C\) в градусы, округляя до целых чисел.

2. Для нахождения расстояния от дома до точки В, можно использовать тригонометрическую теорему синусов. Формула для этой теоремы выглядит следующим образом:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\]

где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, а \(A\) и \(B\) - противолежащие углы.

Мы можем записать формулу для расстояния между домом и точкой В следующим образом:

\[\frac{180 м}{\sin(45°)} = \frac{x}{\sin(15°)}\]

где \(x\) - расстояние от дома до точки В.

Теперь мы можем решить эту формулу, чтобы найти \(x\):

\[x = \frac{180 м \cdot \sin(15°)}{\sin(45°)}\]

Вычисляя это выражение, получаем:

\[x \approx \frac{180 м \cdot 0.2588}{0.7071} \approx \frac{46.62}{0.7071} \approx 66.04 м \approx 66 м\]

Таким образом, расстояние от дома до точки В составляет около 66 метров.

3. Для нахождения длин диагоналей равнобедренной трапеции АВСD, мы можем использовать пифагорову теорему.

Построим высоту трапеции, которая будет перпендикулярна основаниям.

Обозначим длину высоты как \(h\). Так как треугольник CDH - прямоугольный, мы можем применить пифагорову теорему:

\[h^2 = 10^2 - \left(\frac{15 - 3}{2}\right)^2\]

\[h^2 = 10^2 - 6^2\]

\[h^2 = 100 - 36\]

\[h^2 = 64\]

\[h = 8\]

Теперь, чтобы найти длину диагонали AC, мы можем использовать теорему Пифагора на треугольник ACH:

\[AC^2 = 8^2 + 3^2\]

\[AC^2 = 64 + 9\]

\[AC^2 = 73\]

\[AC \approx \sqrt{73} \approx 8.54 \approx 8.5\]

Аналогично, чтобы найти длину диагонали BD, мы можем использовать теорему Пифагора на треугольник BDH:

\[BD^2 = 8^2 + 15^2\]

\[BD^2 = 64 + 225\]

\[BD^2 = 289\]

\[BD = \sqrt{289} = 17\]

Таким образом, длины диагоналей равнобедренной трапеции АВСD равны приблизительно 8.5 и 17, соответственно. Ответы округлены до десятых.