Как изменится скорость точки, если она будет двигаться по прямой с уравнением s = 5t^2 - 4t + 4, где s - длина пути

Olga_1301

39

Чтобы определить, как изменится скорость точки, двигающейся по прямой с уравнением \(s = 5t^2 - 4t + 4\), нам необходимо найти производную уравнения \(s\) по времени \(t\). Производная \(s\) по \(t\) покажет, как скорость \(v\) изменяется с течением времени.

Для нахождения производной, возьмем все буквы как коэффициенты, и с помощью правил дифференцирования найдем производную.

\[s = 5t^2 - 4t + 4\]

\[\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(5t^2 - 4t + 4)\]

Дифференцируем каждый член уравнения отдельно:

\[\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(5t^2) - \frac{{d}}{{dt}}(4t) + \frac{{d}}{{dt}}(4)\]

Используя правила дифференцирования, получаем:

\[\frac{{ds}}{{dt}} = 10t - 4\]

Таким образом, производная \(s\) по \(t\) равна \(10t - 4\), что показывает, как скорость \(v\) меняется в зависимости от времени \(t\).

Теперь, чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени \(t = 2\) секунды, мы можем подставить значение \(t = 2\) в производную уравнения:

\[v = 10t - 4\]

\[v = 10(2) - 4\]

\[v = 20 - 4\]

\[v = 16\]

Следовательно, в момент времени \(t = 2\) секунды, мгновенная скорость точки равна 16 м/с.

Чтобы найти среднюю скорость точки за период от \(t = 2\) секунд до \(t_1 = 2 + \Delta t\) секунд, нам необходимо вычислить изменение пути \(\Delta s\) за этот период и поделить его на время \(\Delta t\):

\[\Delta s = s(t_1) - s(t)\]

\[\Delta t = t_1 - t = (2 + \Delta t) - 2 = \Delta t\]

Подставляем уравнение \(s\) для \(t = 2\) секунды и \(t = 2 + \Delta t\) секунд в формулу \(\Delta s\):

\[\Delta s = s(2 + \Delta t) - s(2)\]

\[\Delta s = (5(2 + \Delta t)^2 - 4(2 + \Delta t) + 4) - (5(2)^2 - 4(2) + 4)\]

\[\Delta s = (5(4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2) - 4(2 + \Delta t) + 4) - (20 - 8 + 4)\]

\[\Delta s = (20 + 20\Delta t + 5(\Delta t)^2 - 8 - 4\Delta t + 4) - 16\]

Упрощаем выражение:

\[\Delta s = 20 + 20\Delta t + 5(\Delta t)^2 - 8 - 4\Delta t + 4 - 16\]

\[\Delta s = 20\Delta t + 5(\Delta t)^2\]

Таким образом, изменение пути \(\Delta s\) за период от \(t = 2\) секунд до \(t_1 = 2 + \Delta t\) секунд равно \(20\Delta t + 5(\Delta t)^2\) метров.

Окончательно, средняя скорость точки за этот период равна:

\[\text{Средняя скорость} = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{20\Delta t + 5(\Delta t)^2}}{{\Delta t}}\]

\[\text{Средняя скорость} = 20 + 5\Delta t\]

Таким образом, средняя скорость точки за период от \(t = 2\) секунд до \(t_1 = 2 + \Delta t\) секунд равна \(20 + 5\Delta t\) м/с.