Как изменится уровень жидкости в сообщающихся сосудах, если в один из них опустить плавающий в жидкости кубик массой

Vaska

49

Задача: Как изменится уровень жидкости в сообщающихся сосудах, если в один из них опустить плавающий в жидкости кубик массой 100 г и площади поперечного сечения равной 10 см²?

Для решения этой задачи, давайте вспомним принцип Архимеда. Этот принцип гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости.

В данной задаче, кубик опущен в один из сообщающихся сосудов. Чтобы найти, как изменится уровень жидкости в сосудах, нам нужно рассмотреть разность выталкивающих сил, действующих на жидкость в каждом сосуде до и после опускания кубика.

Давайте обозначим:
\(h_1\) - начальный уровень жидкости в сосуде, в котором находится кубик,
\(h_2\) - начальный уровень жидкости в другом сосуде,
\(h_1"\) - измененный уровень жидкости в сосуде с кубиком,
\(h_2"\) - измененный уровень жидкости в другом сосуде.

Теперь рассмотрим силы, действующие на жидкость в каждом сосуде до опускания кубика:

В сосуде, в котором находится кубик, на жидкость действует только сила тяжести. Ее можно найти, умножив массу кубика на ускорение свободного падения \(g\):
\[F_1 = m \cdot g\]
где \(m = 100\) г - масса кубика, \(g = 9.8\) м/с² - ускорение свободного падения.

В другом сосуде, на жидкость действует только сила тяжести, которую можно также выразить через массу жидкости и ускорение свободного падения. Поскольку масса жидкости в сосуде не изменилась, эта сила будет такой же, как и в первоначальной ситуации:
\[F_2 = m \cdot g\]
где \(m\) - масса жидкости в сосуде, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Теперь рассмотрим силы, действующие на жидкость в каждом сосуде после опускания кубика:

В сосуде с кубиком, на жидкость теперь действует сила тяжести и сила Архимеда, которую мы можем записать в виде:
\[F_1" = m_{\text{экв}} \cdot g\]
где \(m_{\text{экв}}\) - эквивалентная масса жидкости, вытесненной кубиком.

Согласно принципу Архимеда, сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Плотность жидкости равна отношению массы жидкости к ее объему:
\[\rho = \frac{m}{V}\]
где \(\rho\) - плотность жидкости, \(m\) - масса жидкости, \(V\) - объем жидкости.

Объем жидкости, вытесненной кубиком, можно найти как \(V_{\text{выт}} = S \cdot h_1"\), где \(S\) - площадь поперечного сечения сосуда.

Таким образом, эквивалентная масса жидкости будет:
\[m_{\text{экв}} = \rho \cdot V_{\text{выт}}\]
Подставив значения, получим:
\[m_{\text{экв}} = \frac{m}{V} \cdot S \cdot h_1"\]
\[m_{\text{экв}} = \frac{m}{10} \cdot 10 \cdot h_1" = m \cdot h_1"\]

Таким образом, сила Архимеда в сосуде с кубиком равна \(m \cdot h_1" \cdot g\). Тогда общая сила, действующая на жидкость в сосуде с кубиком после его опускания, будет равна:
\[F_1" = F + m_{\text{экв}} \cdot g\]
\[F_1" = m \cdot g + m \cdot h_1" \cdot g\]
\[F_1" = m \cdot g (1 + h_1")\]

В другом сосуде, после опускания кубика, на жидкость по-прежнему действует только сила тяжести, которую мы знаем и ранее выразили как \(F_2 = m \cdot g\).

Теперь найдем разность этих сил:
\[|F_1" - F_2| = |m \cdot g (1 + h_1") - m \cdot g|\]
\[|F_1" - F_2| = m \cdot g |h_1"|\]

Поскольку силы равны разности уровней жидкости, то разность уровней \(|h_1" - h_2"|\) будет равна разности сил:
\[|h_1" - h_2"| = |h_1 - h_2| = |F_1" - F_2| = m \cdot g |h_1"|\]
\[|h_1" - h_2"| = m \cdot g |h_1"|\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(h_1"\):
\[|h_1" - h_2"| = m \cdot g |h_1"|\]
\[h_1" - h_2" = m \cdot g \cdot h_1"\]
\[h_2" = h_1" - m \cdot g \cdot h_1"\]
\[h_2" = h_1" \cdot (1 - m \cdot g)\]

Теперь, подставим известные значения в нашу формулу:
\[h_2" = h_1" \cdot (1 - m \cdot g)\]
\[h_2" = h_1" \cdot (1 - 0.1 \cdot 9.8)\]
\[h_2" = h_1" \cdot (1 - 0.98)\]
\[h_2" = h_1" \cdot 0.02\]

Заметим, что этот ответ не округлен до десятых. Чтобы округлить его до десятых, нужно использовать конкретные значения \(h_1"\), которые могут быть даны в задаче. Если вы предоставите значение \(h_1"\), то я смогу округлить ответ для вас до десятых.