Как изменится уровень жидкости в сообщающихся сосудах, если в один из них опустить плавающий в жидкости кубик массой

Vaska

49

Задача: Как изменится уровень жидкости в сообщающихся сосудах, если в один из них опустить плавающий в жидкости кубик массой 100 г и площади поперечного сечения равной 10 см²?

Для решения этой задачи, давайте вспомним принцип Архимеда. Этот принцип гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости.

В данной задаче, кубик опущен в один из сообщающихся сосудов. Чтобы найти, как изменится уровень жидкости в сосудах, нам нужно рассмотреть разность выталкивающих сил, действующих на жидкость в каждом сосуде до и после опускания кубика.

Давайте обозначим:
$h_1$ - начальный уровень жидкости в сосуде, в котором находится кубик,
$h_2$ - начальный уровень жидкости в другом сосуде,
$h_1"$ - измененный уровень жидкости в сосуде с кубиком,
$h_2"$ - измененный уровень жидкости в другом сосуде.

Теперь рассмотрим силы, действующие на жидкость в каждом сосуде до опускания кубика:

В сосуде, в котором находится кубик, на жидкость действует только сила тяжести. Ее можно найти, умножив массу кубика на ускорение свободного падения $g$:
$$F_1=m\cdot g$$
где $m=100$ г - масса кубика, $g=9.8$ м/с² - ускорение свободного падения.

В другом сосуде, на жидкость действует только сила тяжести, которую можно также выразить через массу жидкости и ускорение свободного падения. Поскольку масса жидкости в сосуде не изменилась, эта сила будет такой же, как и в первоначальной ситуации:
$$F_2=m\cdot g$$
где $m$ - масса жидкости в сосуде, а $g$ - ускорение свободного падения.

Теперь рассмотрим силы, действующие на жидкость в каждом сосуде после опускания кубика:

В сосуде с кубиком, на жидкость теперь действует сила тяжести и сила Архимеда, которую мы можем записать в виде:
$$F_1"=m_{\text{экв}}\cdot g$$
где $m_{\text{экв}}$ - эквивалентная масса жидкости, вытесненной кубиком.

Согласно принципу Архимеда, сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Плотность жидкости равна отношению массы жидкости к ее объему:
$$\rho =\frac{m}{V}$$
где $\rho$ - плотность жидкости, $m$ - масса жидкости, $V$ - объем жидкости.

Объем жидкости, вытесненной кубиком, можно найти как $V_{\text{выт}}=S\cdot h_1"$, где $S$ - площадь поперечного сечения сосуда.

Таким образом, эквивалентная масса жидкости будет:
$$m_{\text{экв}}=\rho \cdot V_{\text{выт}}$$
Подставив значения, получим:
$$m_{\text{экв}}=\frac{m}{V}\cdot S\cdot h_1"$$
$$m_{\text{экв}}=\frac{m}{10}\cdot 10\cdot h_1"=m\cdot h_1"$$

Таким образом, сила Архимеда в сосуде с кубиком равна $m\cdot h_1"\cdot g$. Тогда общая сила, действующая на жидкость в сосуде с кубиком после его опускания, будет равна:
$$F_1"=F+m_{\text{экв}}\cdot g$$
$$F_1"=m\cdot g+m\cdot h_1"\cdot g$$
$$F_1"=m\cdot g(1+h_1")$$

В другом сосуде, после опускания кубика, на жидкость по-прежнему действует только сила тяжести, которую мы знаем и ранее выразили как $F_2=m\cdot g$.

Теперь найдем разность этих сил:
$$|F_1"-F_2|=|m\cdot g(1+h_1")-m\cdot g|$$
$$|F_1"-F_2|=m\cdot g|h_1"|$$

Поскольку силы равны разности уровней жидкости, то разность уровней $|h_1"-h_2"|$ будет равна разности сил:
$$|h_1"-h_2"|=|h_1-h_2|=|F_1"-F_2|=m\cdot g|h_1"|$$
$$|h_1"-h_2"|=m\cdot g|h_1"|$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $h_1"$:
$$|h_1"-h_2"|=m\cdot g|h_1"|$$
$$h_1"-h_2"=m\cdot g\cdot h_1"$$
$$h_2"=h_1"-m\cdot g\cdot h_1"$$
$$h_2"=h_1"\cdot (1-m\cdot g)$$

Теперь, подставим известные значения в нашу формулу:
$$h_2"=h_1"\cdot (1-m\cdot g)$$
$$h_2"=h_1"\cdot (1-0.1\cdot 9.8)$$
$$h_2"=h_1"\cdot (1-0.98)$$
$$h_2"=h_1"\cdot 0.02$$

Заметим, что этот ответ не округлен до десятых. Чтобы округлить его до десятых, нужно использовать конкретные значения $h_1"$, которые могут быть даны в задаче. Если вы предоставите значение $h_1"$, то я смогу округлить ответ для вас до десятых.