Как изменятся показания манометрического газового термометра, если температура капилляра увеличится на 40°С

Belochka

26

Для решения данной задачи, нужно использовать закон газовой смеси, который гласит: \(\frac{{p_1V_1}}{{T_1}} = \frac{{p_2V_2}}{{T_2}}\) (уравнение 1), где \(p_1\) и \(p_2\) - давления газа, \(V_1\) и \(V_2\) - объемы газа, \(T_1\) и \(T_2\) - температуры газа.

Начнем с расчета изначальных показаний манометрического газового термометра. Исходные значения: \(T_{\text{кап}} = 20°С\), \(T_{\text{пруж}} = 20°С\), \(V_{\text{кап}} = 1,9 \, \text{см}^3\), \(V_{\text{пруж}} = 1,5 \, \text{см}^3\).

Так как давление рабочей жидкости не меняется, показания манометра будут определяться только изменениями объемов капилляра и пружины. Поэтому расчет проводим для соответствующих объемов:

1. Изменение температуры капилляра на 40°С:
Используем уравнение 1 для объема капилляра:
\(\frac{{p_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}}}}{{T_{\text{нач}}}} = \frac{{p_{\text{кап}} \cdot V_{\text{кап}}}}{{T_{\text{кап}}}}\),
где \(p_{\text{нач}}\) и \(p_{\text{кап}}\) - давления газа соответственно в начальное и измененное время, \(T_{\text{нач}}\) - начальная температура газа.

Раскроем эту формулу относительно \(p_{\text{кап}}\):
\(p_{\text{кап}} = \frac{{p_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}} \cdot T_{\text{кап}}}}{{V_{\text{кап}} \cdot T_{\text{нач}}}}\) (уравнение 2).

2. Изменение температуры пружины на 10°С:
Используем уравнение 1 для объема пружины:
\(\frac{{p_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}}}}{{T_{\text{нач}}}} = \frac{{p_{\text{пруж}} \cdot V_{\text{пруж}}}}{{T_{\text{пруж}}}}\),
где \(p_{\text{пруж}}\) - давление газа соответственно в измененное время для пружины.

Раскроем эту формулу относительно \(p_{\text{пруж}}\):
\(p_{\text{пруж}} = \frac{{p_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}} \cdot T_{\text{пруж}}}}{{V_{\text{пруж}} \cdot T_{\text{нач}}}}\) (уравнение 3).

Теперь рассчитаем значения \(p_{\text{нач}}\) и \(p_{\text{кап}}\) с помощью уравнения состояния газа:
\(p_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}} = p_{\text{кап\_объем}} \cdot V_{\text{т}},\) где \(p_{\text{кап\_объем}}\) - давление в капилляре при измененном объеме, \(V_{\text{т}}\) - общий объем термометра.

Из этого уравнения легко выразить \(p_{\text{нач}}\):
\(p_{\text{нач}} = \frac{{p_{\text{кап\_объем}} \cdot V_{\text{т}}}}{{V_{\text{нач}}}}\) (уравнение 4).

Так как давление рабочей жидкости не меняется, \(p_{\text{кап\_объем}} = p_{\text{пруж\_объем}}\).

Теперь подставим значения в уравнения 2, 3 и 4 и найдем значения \(p_{\text{кап}}\) и \(p_{\text{пруж}}\):

\(p_{\text{пруж}} = \frac{{p_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}} \cdot T_{\text{пруж}}}}{{V_{\text{пруж}} \cdot T_{\text{нач}}}} = \frac{{\frac{{p_{\text{кап\_объем}} \cdot V_{\text{т}}}}{{V_{\text{нач}}}} \cdot V_{\text{нач}} \cdot T_{\text{пруж}}}}{{V_{\text{пруж}} \cdot T_{\text{нач}}}} = \frac{{p_{\text{кап\_объем}} \cdot V_{\text{т}} \cdot T_{\text{пруж}}}}{{V_{\text{пруж}} \cdot T_{\text{нач}}}}\) (уравнение 5).

\(p_{\text{кап}} = \frac{{p_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}} \cdot T_{\text{кап}}}}{{V_{\text{кап}} \cdot T_{\text{нач}}}} = \frac{{\frac{{p_{\text{кап\_объем}} \cdot V_{\text{т}}}}{{V_{\text{нач}}}} \cdot V_{\text{нач}} \cdot T_{\text{кап}}}}{{V_{\text{кап}} \cdot T_{\text{нач}}}} = \frac{{p_{\text{кап\_объем}} \cdot V_{\text{т}} \cdot T_{\text{кап}}}}{{V_{\text{кап}} \cdot T_{\text{нач}}}}\) (уравнение 6).

Мы получили значения \(p_{\text{кап}}\) и \(p_{\text{пруж}}\) в зависимости от давления в капилляре (\(p_{\text{кап\_объем}}\)) и общего объема термометра (\(V_{\text{т}}\)).

Теперь найдем изменение показаний манометрического газового термометра. Для этого вычтем начальное значение показания термометра (\(p_{\text{нач}}\)) из измененного значения (\(p_{\text{кап}}\)):

\(\Delta p = p_{\text{кап}} - p_{\text{нач}}\) (уравнение 7).

Таким образом, с помощью уравнений 5, 6 и 7 можно найти изменение показаний манометрического газового термометра при заданных изменениях температур капилляра и пружины.

Помимо этого, можно также рассчитать относительное изменение показаний термометра в процентах \(\frac{{\Delta p}}{{p_{\text{нач}}}} \cdot 100\%\) для более наглядного представления изменений.