Как много способов можно распределить 30 человек на первые три вагона, по 10 человек в каждый вагон? Расписать решение

Sladkiy_Angel

45

Для решения данной задачи, мы можем использовать комбинаторику. Нам нужно определить, сколько способов можно разместить 30 человек на 3 вагона, при условии, что в каждом вагоне будет по 10 человек.

Для начала, вычислим количество способов выбрать 10 человек из 30. Для этого используется формула сочетания. Количество сочетаний из n элементов по k элементов вычисляется следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

В данном случае, мы выбираем 10 человек из 30, поэтому n = 30 и k = 10. Подставляя значения в формулу, получим:

\[
C(30, 10) = \frac{{30!}}{{10!(30-10)!}}
\]

Вычислим числитель:

\[
30! = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!
\]

Вычислим знаменатель:

\[
10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

\[
(30-10)! = 20!
\]

Теперь, подставив числитель и знаменатель в формулу сочетания, получим:

\[
C(30, 10) = \frac{{30!}}{{10!(30-10)!}} = \frac{{30!}}{{10! \cdot 20!}}
\]

Далее, нам нужно учесть, что распределение производится на 3 вагона. Для каждого способа выбрать 10 человек из 30, мы можем разместить их на вагонах по-разному. Для этого, нужно вознести количество способов выбрать 10 человек из 30 в степень количества вагонов (3):

\[
C(30, 10)^3
\]

Теперь, когда у нас есть выражение для всех возможных способов разместить 30 человек на 3 вагона, мы можем его вычислить:

\[
C(30, 10)^3 = \left(\frac{{30!}}{{10! \cdot 20!}}\right)^3
\]

Продолжая расчеты получаем:

\[
\left(\frac{{30!}}{{10! \cdot 20!}}\right)^3 = \left(\frac{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}}{{10!}}\right)^3
\]

\[
= \left(\frac{{30030}}{{3628800}}\right)^3
\]

Вычислим значение в числителе:

\[
30030^3 = 270270270000
\]

Вычислим значение в знаменателе:

\[
3628800^3 = 13060694001600000
\]

Теперь, рассчитаем окончательный результат:

\[
\left(\frac{{270270270000}}{{13060694001600000}}\right) \approx 0.0207
\]

Таким образом, существует около 0.0207 способов распределить 30 человек на первые три вагона, по 10 человек в каждый вагон.