Как можно доказать, что функция f(x)=x+9 является непрерывной?

Denis

53

Чтобы доказать, что функция \(f(x) = x + 9\) является непрерывной, мы можем использовать определение непрерывности функций.

Функция считается непрерывной на определенном интервале или точке, если она не имеет разрывов и сохраняет свои значения около каждой точки. Давайте подробно рассмотрим каждый шаг доказательства.

1. Для начала, нам нужно понять, что значит, что функция \(f(x) = x + 9\) не имеет разрывов. Разрыв может произойти в трех случаях:
- Разрыв первого рода, когда предел функции в точке существует, но значения слева и справа от этой точки отличаются.
- Разрыв второго рода, когда предел функции в точке не существует или бесконечен.
- Разрыв третьего рода, когда значения функции в точке не сближаются ни к одному конкретному числу, а остаются ограниченными.

2. Для нашей функции \(f(x) = x + 9\) мы видим, что она представляет собой линейную функцию с угловым коэффициентом равным 1. Линейные функции являются непрерывными функциями, поскольку они не имеют разрывов первого или второго рода.

3. Теперь, чтобы подтвердить, что наша функция \(f(x) = x + 9\) не имеет разрывов третьего рода, мы можем проанализировать ее пределы в каждой точке. Предел функции в точке \(x_0\) можно определить как значение, к которому стремится функция, когда \(x\) стремится к \(x_0\).

Для нашей функции \(f(x) = x + 9\), предел в любой точке \(x_0\) будет равен самой функции \(f(x_0)\), потому что она является непрерывной.

Формально, мы можем записать это следующим образом:
\[\lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0)\]

Это означает, что функция сохраняет свое значение так близко, как только возможно, к точке \(x_0\).

4. Таким образом, мы доказали, что функция \(f(x) = x + 9\) является непрерывной, так как она не имеет разрывов первого, второго или третьего рода.

В итоге, функция \(f(x) = x + 9\) является непрерывной на всей числовой прямой, так как она не имеет разрывов и сохраняет свои значения около каждой точки.