Как можно доказать, что треугольник abc - прямоугольный, если имеются точки a(-5; 2; 0), в(-4; 3; 0), с(-5; 2; -2)?

Stanislav

6

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам нужно проверить, удовлетворяет ли он условиям прямоугольного треугольника, то есть имеет ли он один прямой угол.

Для начала, найдем длины сторон треугольника ABC, используя координаты его точек.

\[AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}\]
\[AC = \sqrt{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2 + (z_c - z_a)^2}\]
\[BC = \sqrt{(x_c - x_b)^2 + (y_c - y_b)^2 + (z_c - z_b)^2}\]

Подставим данные точки в формулы:

\[AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - 2)^2 + (0 - 0)^2}\]
\[AC = \sqrt{(-5 - (-5))^2 + (2 - 2)^2 + (-2 - 0)^2}\]
\[BC = \sqrt{(-5 - (-4))^2 + (2 - 3)^2 + (-2 - 0)^2}\]

Выполним вычисления:

\[AB = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\]
\[AC = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = 2\]
\[BC = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}\]

Теперь, чтобы доказать, что треугольник ABC - прямоугольный, необходимо проверить, являются ли квадраты длин сторон треугольника равными сумме квадратов двух оставшихся сторон.

Существует теорема, известная как теорема Пифагора, которая гласит следующее:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для треугольника ABC это означает, что:

\[AB^2 + AC^2 = BC^2\]

Подставим значения, которые мы получили:

\[(\sqrt{2})^2 + 2^2 = (\sqrt{6})^2\]

Упростим выражение:

\[2 + 4 = 6\]

Таким образом, мы видим, что условие теоремы Пифагора выполняется, значит треугольник ABC является прямоугольным.

Теперь давайте найдем длину средней линии треугольника, соединяющей его катеты. Средняя линия треугольника является половиной гипотенузы и может быть найдена по следующей формуле:

\[M = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{AB^2 + AC^2}\]

Подставляя значения:

\[M = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2}\]
\[M = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 + 4}\]
\[M = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6}\]

Упростим выражение:

\[M = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6}\]

Таким образом, длина средней линии треугольника ABC, соединяющей его катеты, равна \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{6}\) (квадратных единиц).