Конечно! Чтобы доказать данное выражение, мы можем использовать метод математической индукции. Давайте покажем, как это можно сделать для конкретного выражения.
Допустим, что выражение, которое мы хотим доказать, имеет вид:
Шаг 2: Предположение индукции (Inductive assumption)
Мы предполагаем, что выражение верно для некоторого \(k\), т.е. \(P(k)\) верно:
\[1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k \cdot (k+1)}}{2}\]
Шаг 3: Индуктивное доказательство (Inductive proof)
Теперь, используя предположение индукции, мы должны доказать, что выражение верно для следующего значения \(k+1\), т.е. \(P(k+1)\) верно:
Мы замечаем, что левая часть равна:
\[1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = \frac{{k \cdot (k+1)}}{2} + (k+1) = \frac{{k \cdot (k+1) + 2(k+1)}}{2} = \frac{{(k+1) \cdot (k+2)}}{2}\]
То есть мы получили правую часть уравнения \(P(k+1)\), что означает, что выражение верно и для \(k+1\).
Шаг 4: Заключение
Из базового шага и индуктивного доказательства следует, что выражение верно для всех значений \(n \geq 1\) по принципу математической индукции.
На этом заканчивается доказательство. Мы использовали математическую индукцию для доказательства заданного выражения. Надеюсь, объяснение было понятным для вас! Если у вас есть еще вопросы, я буду рад помочь.
София 61
Конечно! Чтобы доказать данное выражение, мы можем использовать метод математической индукции. Давайте покажем, как это можно сделать для конкретного выражения.Допустим, что выражение, которое мы хотим доказать, имеет вид:
\[P(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n \cdot (n+1)}}{2}\]
Шаг 1: Базовый шаг (Base case)
Сначала мы доказываем, что выражение верно для начального значения \(n\). Для этого проверим, что \(P(1)\) верно.
Подставим \(n=1\) в выражение:
\[1 = \frac{{1 \cdot (1+1)}}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
Таким образом, базовый шаг выполнен.
Шаг 2: Предположение индукции (Inductive assumption)
Мы предполагаем, что выражение верно для некоторого \(k\), т.е. \(P(k)\) верно:
\[1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k \cdot (k+1)}}{2}\]
Шаг 3: Индуктивное доказательство (Inductive proof)
Теперь, используя предположение индукции, мы должны доказать, что выражение верно для следующего значения \(k+1\), т.е. \(P(k+1)\) верно:
\[1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = \frac{{(k+1) \cdot ((k+1)+1)}}{2}\]
Мы замечаем, что левая часть равна:
\[1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = \frac{{k \cdot (k+1)}}{2} + (k+1) = \frac{{k \cdot (k+1) + 2(k+1)}}{2} = \frac{{(k+1) \cdot (k+2)}}{2}\]
То есть мы получили правую часть уравнения \(P(k+1)\), что означает, что выражение верно и для \(k+1\).
Шаг 4: Заключение
Из базового шага и индуктивного доказательства следует, что выражение верно для всех значений \(n \geq 1\) по принципу математической индукции.
На этом заканчивается доказательство. Мы использовали математическую индукцию для доказательства заданного выражения. Надеюсь, объяснение было понятным для вас! Если у вас есть еще вопросы, я буду рад помочь.