Как можно доказать равенство двух выражений: 2 синус 70 градусов минус корень из 3 / 2 синус 80 градусов равно единице?

Заблудший_Астронавт

1

Для доказательства равенства двух выражений, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями и привести оба выражения к одному виду.

Рассмотрим выражение: \(2 \sin(70^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(80^\circ)\)

Сначала, воспользуемся тригонометрической идентичностью для разности двух синусов:
\[\sin(a) - \sin(b) = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

Применим эту идентичность для нашего выражения:
\[2 \sin(70^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(80^\circ) = 2 \cos\left(\frac{70^\circ + 80^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{70^\circ - 80^\circ}{2}\right)\]

Теперь вычислим значения внутри функций синуса и косинуса:
\[\cos\left(\frac{70^\circ + 80^\circ}{2}\right) = \cos(75^\circ) = \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\]
\[\sin\left(\frac{70^\circ - 80^\circ}{2}\right) = \sin(-5^\circ) = -\sin(5^\circ) = -\frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)\]

Подставим эти значения обратно в выражение:
\[2 \cos\left(\frac{70^\circ + 80^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{70^\circ - 80^\circ}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)\right)\]

Упростим это выражение:
\[2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)\right) = -\frac{1}{4} (\sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} - 1))\]
\[ = -\frac{1}{4} (\sqrt{18} - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}) = -\frac{1}{4} (\sqrt{18} - 2\sqrt{6})\]

Теперь, приведем это выражение вместе с другим выражением, которое нужно доказать:
\[2 \sin(70^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(80^\circ) = -\frac{1}{4} (\sqrt{18} - 2\sqrt{6})\]

Рассмотрим второе выражение: \(1\)

Очевидно, что \(1\) это равенство единице.

Таким образом, мы доказали, что выражение \(2 \sin(70^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(80^\circ)\) равно \(1\) с помощью тригонометрических идентичностей и математических преобразований.