Как можно изобразить на графике уравнение 6|x| + 5|y| = 30 и определить площадь области, ограниченной этим графиком?

Раиса

13

Хорошо, давайте решим задачу по порядку.

Первый шаг - построение графика уравнения \(6|x| + 5|y| = 30\).

Для начала, давайте рассмотрим случаи, когда \(x\) и \(y\) положительные.
Уравнение можно переписать в виде: \(6x + 5y = 30\).
Теперь, чтобы построить график, нужно найти несколько точек, подходящих под это уравнение.

Пусть \(x = 0\), тогда \(6 \cdot 0 + 5y = 30\), откуда \(y = 6\).
И мы получаем точку (0, 6).

Пусть теперь \(y = 0\), тогда \(6x + 5 \cdot 0 = 30\), откуда \(x = 5\).
И мы получаем точку (5, 0).

Нарисуем на графике эти две точки и проведем прямую через них.

Теперь рассмотрим случаи, когда \(x\) положительный, а \(y\) отрицательный.
Уравнение \(6|x| + 5|y| = 30\) при таких значениях переменных можно переписать в виде: \(6x + 5(-y) = 30\), или, в более простой форме, \(6x - 5y = 30\).

Пусть \(x = 0\), тогда \(6 \cdot 0 - 5y = 30\), откуда \(y = -6\).
И мы получаем точку (0, -6).

Пусть теперь \(y = 0\), тогда \(6x - 5 \cdot 0 = 30\), откуда \(x = 5\).
И мы получаем точку (5, 0).

Нарисуем на графике эти две точки и проведем прямую через них.

Теперь, чтобы получить полный график, нужно рассмотреть отражения этих линий относительно осей \(x\) и \(y\).
На основе симметрии, мы знаем, что график должен быть симметричным относительно осей.

Соединим точки с этих линий и нарисуем отражения графика относительно осей.

Для решения второй части задачи – нахождения площади области, ограниченной графиком, нужно определить, какая фигура получается.

По графику можно заметить, что фигура, ограниченная графиком уравнения \(6|x| + 5|y| = 30\), выглядит как ромб с вершинами в точках \((\pm5, 0)\) и \((0, \pm6)\).

Теперь найдем площадь этой фигуры. Высота ромба равна 12 единиц (6 единиц плюс 6 единиц), а его ширина равна 10 единиц (5 единиц плюс 5 единиц).
Теперь можно просто применить формулу для площади ромба: \(S = \frac{{\text{{длина диагонали 1}} \times \text{{длина диагонали 2}}}}{2}\).
В данной задаче, диагонали ромба равны 12 единиц и 10 единиц соответственно.

Подставим значения в формулу площади ромба:
\[S = \frac{{12 \times 10}}{2} = 60.\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком уравнения \(6|x| + 5|y| = 30\), равна 60 квадратным единицам. Полученная фигура является ромбом.