Каково значение cos^2(x/2), если tan(3pi/2+x)=-1/sqrt(15), а x находится в интервале (pi; 3pi/2)?

Пума

54

Чтобы решить данное уравнение, начнем с определения тригонометрических функций. Мы знаем, что \(\tan(\theta) = \frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}\) и что \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\).

Используя данные условия, найдем сначала \(\sin(\theta)\). У нас есть \(\tan(3\pi/2+x) = -\frac{1}{{\sqrt{15}}}\). Так как \(\tan(\theta) = \frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}\), то мы можем записать:

\[-\frac{1}{{\sqrt{15}}} = \frac{{\sin(3\pi/2 + x)}}{{\cos(3\pi/2 + x)}}\]

Теперь обратимся к графику тангенса. Мы знаем, что значение тангенса равно отношению значений синуса и косинуса. Зная, что \(\sin(3\pi/2) = -1\) и \(\cos(3\pi/2) = 0\), мы можем записать:

\[-\frac{1}{{\sqrt{15}}} = \frac{{\sin(3\pi/2) \cos(x) + \cos(3\pi/2) \sin(x)}}{{\cos(3\pi/2) \cos(x) - \sin(3\pi/2) \sin(x)}} = \frac{{-\cos(x)}}{{-\sin(x)}} = \frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}}\]

Упростим это уравнение. Домножим обе стороны на \(\sin(x)\):

\[-\frac{{\cos(x)}}{{\sqrt{15}}} = \frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}} \times \sin(x) = 1\]

Теперь выразим значение \(\cos(x)\):

\[\cos(x) = -\sqrt{15}\]

И, наконец, найдем значение \(\cos^2(x/2)\), зная, что \(x\) находится в интервале \((\pi, 3\pi/2)\). Мы можем выразить \(x/2\) и вычислить:

\[\cos^2(x/2) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{2x}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi + x}{2}\right)\]

Заметим, что \(\frac{\pi + x}{2}\) также находится в интервале \((\pi, 3\pi/2)\).

Таким образом, значение \(\cos^2(x/2)\) равно \(\cos^2\left(\frac{\pi + x}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)\).

Мы знаем, что \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{{\sqrt{2}}}\).

Подставляя это значение, получаем итоговый ответ:

\[\cos^2(x/2) = \cos^2\left(\frac{\pi + x}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{1}{{\sqrt{2}}}\right)^2 = \frac{1}{2}\]