Как можно показать, что число а делится на m, если а=5*2^51+21*32^45 и m=31? Пожалуйста, объясните подробно

Сверкающий_Джинн

27

Для того чтобы показать, что число \(a\) делится на \(m\), нужно доказать, что \(a\) является кратным \(m\), то есть что \(a\) можно разделить нацело на \(m\).

Для решения этой задачи необходимо найти остаток от деления числа \(a\) на \(m\) и проверить, равен ли этот остаток нулю. Если остаток равен нулю, это будет означать, что \(a\) делится на \(m\).

Давайте подробно рассмотрим это.

Дано:
\(a = 5 \cdot 2^{51} + 21 \cdot 32^{45}\) и \(m = 31\)

Для начала, посмотрим, можно ли упростить выражение для \(a\):

\[a = 5 \cdot 2^{51} + 21 \cdot 32^{45}\]

Мы знаем некоторые свойства степеней:
\(2^{5} = 32\), и чтобы получить \(2^{51}\), нужно разделить \(51\) на \(5\) и получить \(10\) с остатком \(1\). То есть \(2^{51} = 32 \cdot 2\).

Также, \(32^{4} = 2^{20}\), и чтобы получить \(32^{45}\), нужно разделить \(45\) на \(4\) и получить \(11\) с остатком \(1\). То есть \(32^{45} = (2^{5})^{9} = 2^{45}\).

Теперь, заменим значения \(2^{51}\) и \(32^{45}\) в исходном выражении:

\[a = 5 \cdot 2^{51} + 21 \cdot 32^{45} = 5 \cdot (32 \cdot 2) + 21 \cdot (2^{45})\]

\[a = 10 \cdot 32 + 21 \cdot 2^{45}\]

Теперь, распишем эту сумму:

\[a = 320 + (2^{5})^{9} \cdot 21\]

\[a = 320 + 32^{9} \cdot 21\]

Рассмотрим остаток от деления числа \(a\) на \(m\):

\[a \equiv 320 + 32^{9} \cdot 21 \pmod{31}\]

Для упрощения вычислений, воспользуемся свойством малой теоремы Ферма:

Если \(p\) - простое число, а \(a\) - целое число, не делящееся на \(p\), то \(a^{(p-1)} \equiv 1 \pmod{p}\).

В нашем случае \(p = 31\), и \(m\) является простым числом.

Поскольку \(32\) не делится на \(31\) (т.к. \(31\) - простое число), мы можем применить малую теорему Ферма и заменить \(32\) на \(1\) в остатке от деления \(a\) на \(m\):

\[a \equiv 320 + 1^{9} \cdot 21 \pmod{31}\]

Рассчитаем эту сумму:

\[a \equiv 320 + 1 \cdot 21 \pmod{31}\]

\[a \equiv 341 \pmod{31}\]

Теперь найдем остаток от деления числа \(341\) на \(31\):

\[a \equiv 20 \pmod{31}\]

Итак, мы получили, что \(a \equiv 20 \pmod{31}\).

Теперь проверим, равен ли остаток нулю. Если такое равенство выполняется, то число \(a\) делится на \(m\). В нашем случае:

\[20 \mod 31 = 20\]

Остаток не равен нулю, поэтому число \(a\) не делится на \(m\).

Итак, чтобы показать, что число \(a\) делится на \(m\), мы должны получить остаток от деления \(a\) на \(m\) равным нулю. В данной задаче остаток равен \(20\), поэтому можно сделать вывод, что число \(a\) не делится на \(m\).

Надеюсь, это объяснение поможет вам понять решение данной задачи.