Как можно построить пирамиду с вершинами A (2; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 6), D (2; 3; 8)? Необходимо также вычислить

Витальевна

42

Чтобы построить пирамиду по данным вершинам A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) и D(2; 3; 8), мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдите векторы, соединяющие вершины A и B, A и C, A и D.
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}0 - 2 \\ 3 - 0 \\ 0 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0 - 2 \\ 0 - 0 \\ 6 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}2 - 2 \\ 3 - 0 \\ 8 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 8\end{pmatrix}\)

2. Постройте векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), чтобы найти нормаль к грани ABC.
\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix}\).
Объединяя, получаем
\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}3 \cdot 6 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-2) - 6 \cdot (-2) \\ -2 \cdot 0 - (-2) \cdot 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18 \\ -12 \\ 6\end{pmatrix}\).

3. Используйте уравнение плоскости, чтобы найти высоту пирамиды.
Подставим значения вершины A и нормаль к плоскости ABC:
Уравнение плоскости ABC:
\(18x - 12y + 6z + d = 0\).
Подставляем A(2; 0; 0):
\(18 \cdot 2 - 12 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + d = 0 \Rightarrow 36 + d = 0 \Rightarrow d = -36\).
Таким образом, уравнение плоскости ABC имеет вид:
\(18x - 12y + 6z - 36 = 0\).
Длина высоты, опущенной на грань ABC, равна модулю коэффициента z в уравнении плоскости:
\(\lvert 6 \rvert = 6\).

4. Чтобы вычислить объем пирамиды ABCD, мы должны найти площадь основания ABC и умножить ее на длину высоты. Площадь ABC можно найти с помощью модуля векторного произведения \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \lvert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \rvert = \frac{1}{2} \sqrt{18^2 + (-12)^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{648} = \frac{1}{2} \cdot 24\).

Таким образом, площадь ABC равна 12.

Объем пирамиды можно найти умножением площади основания на высоту пирамиды:

\(V_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 6 = 24\).

Таким образом, пирамида ABCD имеет объем 24 и высоту, опущенную на грань ABC равную 6.