Как можно представить многочлен x^6 - 6y^2x^3 + 9y^4 в виде квадрата двучлена?

Valera

62

Хорошо, давайте пошагово разберемся с этой задачей. Мы хотим представить многочлен \(x^6 - 6y^2x^3 + 9y^4\) в виде квадрата двучлена.

Для начала давайте выделим квадратные члены в данном многочлене. Видим, что первый и последний члены, \(x^6\) и \(9y^4\), являются квадратами членов. Теперь сосредоточимся на среднем члене \(-6y^2x^3\).

Чтобы представить этот средний член как квадратный член, нам нужно найти двучлен, образующий этот средний член. Для этого нам понадобится новая переменная, которую мы обычно обозначаем символом \(a\). Предположим, что у нас есть двучлен \((ax^3 - y^2)^2\).

Раскроем этот двучлен:
\((ax^3 - y^2)^2\)
\(= (ax^3 - y^2)(ax^3 - y^2)\)
\(= a^2x^6 - 2axy^2x^3 + y^4\)

Теперь, чтобы свести наш исходный многочлен к виду квадрата двучлена, нам нужно, чтобы результат раскрытия двучлена \((ax^3 - y^2)^2\) совпадал с исходным многочленом. То есть:
\(a^2x^6 - 2axy^2x^3 + y^4 = x^6 - 6y^2x^3 + 9y^4\)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, мы можем установить систему уравнений:
\(a^2 = 1\) (для степени \(x^6\))
\(-2ay^2 = -6y^2\) (для степени \(x^3\))
\(y^4 = 9y^4\) (для степени \(y^4\))

Первое уравнение даёт нам \(a = 1\). Подставляя это во второе уравнение, мы можем решить его относительно \(y\):
\(-2y^2 = -6y^2\)
\(-2y^2 + 6y^2 = 0\)
\(4y^2 = 0\)
\(y = 0\)

Теперь, имея значения \(a = 1\) и \(y = 0\), мы можем написать искомый квадрат двучлена:
\((x^3 - 0)^2\)
\(= x^6\)

Таким образом, многочлен \(x^6 - 6y^2x^3 + 9y^4\) может быть представлен в виде квадрата двучлена \((x^3 - 0)^2\), что равно \(x^6\).