Как можно представить угол 15 в виде двойного угла?

Solnechnyy_Pirog

58

Для того чтобы представить угол 15 в виде двойного угла, мы можем воспользоваться знакомым нам свойством синуса двойного угла.

Свойство гласит, что \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\), где \(\alpha\) - угол.

Теперь применим это свойство к нашей задаче.

У нас есть угол 15. Чтобы найти его двойной угол, обозначим его как \(\alpha\).

Тогда у нас получается уравнение: \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\).

Так как нам известно значение угла 15, мы можем подставить его в наше уравнение: \(\sin(2\cdot15) = 2\sin(15)\cos(15)\).

Теперь рассчитаем значение синусов и косинусов:

\(\sin(30) = 2\sin(15)\cos(15)\).

Синус 30 градусов равен 0.5, поэтому посчитаем и выпишем это значение:

0.5 = 2\sin(15)\cos(15).

Теперь нам требуется найти значение \(\sin(15)\) и \(\cos(15)\). Но прежде чем мы продолжим, давайте разложим угол 15 на два угла: 15 = 45 - 30.

Тогда мы знаем, что \(\sin(45 - 30) = \sin(45)\cos(30) - \cos(45)\sin(30)\).

Синус 45 градусов равен \(\sqrt{2}/2\), а синус 30 градусов равен 0.5. Косинусы симметричны, поэтому синусы будут иметь обратный знак.

Теперь подставим все наши значения в уравнение:

\(\sin(15) = \sin(45)\cos(30) - \cos(45)\sin(30)\).

\(\sin(15) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\).

\(\sin(15) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).

Аналогично, посчитаем значение \(\cos(15)\) и подставим его в уравнение:

\(\cos(15) = \cos(45)\cos(30) + \sin(45)\sin(30)\).

\(\cos(15) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\).

\(\cos(15) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

Теперь у нас есть значения \(\sin(15)\) и \(\cos(15)\), поэтому можем вернуться к исходному уравнению:

0.5 = 2\sin(15)\cos(15).

0.5 = 2\cdot\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.

0.5 = \frac{\sqrt{6}^2 - \sqrt{2}^2}{8}.

0.5 = \frac{6 - 2}{8}.

0.5 = \frac{4}{8}.

0.5 = 0.5.

Таким образом, мы видим, что угол 15 можно представить в виде двойного угла, который равен 30 градусов.