Как можно приближенно выразить значение выражения 1,074^5, не используя калькулятор? Воспользуйтесь приближенной

Фонтан

58

Для решения этой задачи воспользуемся приближенной формулой равенства \( f(x) \approx f(a) + f"(a)(x - a) \), где \( f(x) \) - значение функции, \( f(a) \) - значение функции в точке \( a \), \( f"(a) \) - производная функции в точке \( a \), \( x \) - значение аргумента, \( a \) - точка, около которой мы аппроксимируем значение функции.

В данной задаче \( f(x) = x^5 \), а точка, около которой мы будем аппроксимировать значение функции, равна \( a = 1 \). Чтобы найти значение функции в точке \( a \), подставим его значение в исходное выражение: \( f(a) = a^5 = 1^5 = 1 \).

Теперь нам нужно найти производную функции \( f"(x) = \frac{{df(x)}}{{dx}} \). Для этого возьмем производную пятичлена по степени и умножим его на коэффициент перед ним: \( f"(x) = 5x^4 \).

Теперь чтоб использовать формулу \( f(x) \approx f(a) + f"(a)(x - a) \), осталось только подставить значения \( f(a) \), \( f"(a) \) и \( x \) в формулу. В нашем случае, \( x = 1,074 \):

\[ f(1,074) \approx f(1) + f"(1)(1,074 - 1) = 1 + (5 \cdot 1^4)(1,074 - 1) = 1 + 5 \cdot 1 \cdot (1,074 - 1) \]

\[ f(1,074) \approx 1 + 5 \cdot (1,074 - 1) = 1 + 5 \cdot (0,074) = 1 + 0,37 = 1,37 \]

Таким образом, приближенное значение выражения \( 1,074^5 \) равно округленно до тысячных \( 1,37 \).