Как можно разложить вектор MA по векторам x=MN и y=MK в треугольнике MNK, если точка A находится на стороне NK и NA/AK

Moroz

28

Для разложения вектора \(\overrightarrow{MA}\) по векторам \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\) в треугольнике \(MNK\), мы используем разложение вектора на составляющие.

В данной задаче, у нас есть отношение между векторами \(\overrightarrow{NA}\) и \(\overrightarrow{AK}\), а именно \(\frac{{NA}}{{AK}} = \frac{{6}}{{5}}\). Обозначим \(\overrightarrow{NA}\) как \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{AK}\) как \(\overrightarrow{y}\).

Так как векторы \(\overrightarrow{NA}\) и \(\overrightarrow{AK}\) являются составляющими векторов \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\) соответственно, то мы можем использовать эти соотношения для разложения \(\overrightarrow{MA}\).

Для начала, мы разложим вектор \(\overrightarrow{MA}\) на составляющие, связанные с вектором \(\overrightarrow{x}\):

\(\overrightarrow{MA_x} = \frac{{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{x}}}{{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{x}}} \cdot \overrightarrow{x}\)

Здесь \(\overrightarrow{MA_x}\) - векторная составляющая \(\overrightarrow{MA}\) в направлении вектора \(\overrightarrow{x}\), а \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{x}\) - скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{x}\).

Теперь, разложим вектор \(\overrightarrow{MA}\) на составляющие, связанные с вектором \(\overrightarrow{y}\):

\(\overrightarrow{MA_y} = \frac{{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{y}}}{{\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{y}}} \cdot \overrightarrow{y}\)

Аналогично, \(\overrightarrow{MA_y}\) - векторная составляющая \(\overrightarrow{MA}\) в направлении вектора \(\overrightarrow{y}\), а \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{y}\) - скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{y}\).

Таким образом, разложение вектора \(\overrightarrow{MA}\) по векторам \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\) будет иметь вид:

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MA_x} + \overrightarrow{MA_y}\)

Подставляя значения векторных составляющих, разложенных по \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\) в данном порядке, получим:

\(\overrightarrow{MA} = \left(\frac{{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{x}}}{{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{x}}} \cdot \overrightarrow{x}\right) + \left(\frac{{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{y}}}{{\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{y}}} \cdot \overrightarrow{y}\right)\)

Это и есть разложение вектора \(\overrightarrow{MA}\) по векторам \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\) в треугольнике \(MNK\). Теперь, остается только подставить значения и выполнить вычисления, чтобы получить итоговый ответ.