Как можно решить данную систему уравнений: xr+x=6; xr+r=6?

Markiz

40

Давайте решим данную систему уравнений шаг за шагом.

1. Первое уравнение: \(xr + x = 6\).
Давайте вынесем общий множитель \(x\): \(x(r + 1) = 6\).

2. Теперь рассмотрим второе уравнение: \(xr + r = 6\).

3. Заметим, что оба уравнения содержат одно и то же выражение \(xr\), поэтому мы можем исключить его путем вычитания двух уравнений друг из друга.

Вычитаем второе уравнение из первого:
\((xr + x) - (xr + r) = 6 - 6\).

Получаем: \(xr + x - xr - r = 0\).

После сокращения \(xr\) получаем: \(x - r = 0\).

4. Поставим это уравнение в более удобный вид, выразив \(r\) через \(x\).
Для этого добавим \(r\) к обеим сторонам уравнения:
\(x - r + r = 0 + r\).

Получаем: \(x = r\).

5. Теперь мы знаем, что значение \(x\) равно значению \(r\). Подставим это значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение переменной \(x\) (и \(r\)).

Подставим \(r\) в первое уравнение: \(xr + x = 6\).
Подставимм значение \(x\) вместо \(r\): \(xx + x = 6\).

Получаем квадратное уравнение: \(x^2 + x = 6\).

6. Теперь решим это квадратное уравнение.

Перенесем все в левую часть уравнения: \(x^2 + x - 6 = 0\).

Посмотрим на возможные разложения этого уравнения на множители:
\((x+3)(x-2) = 0\).

Получаем два возможных значения для \(x\):

a) \(x+3 = 0\). Из этого уравнения находим, что \(x = -3\).

b) \(x-2 = 0\). Из этого уравнения находим, что \(x = 2\).

7. Для каждого найденного значения \(x\) подставим его в одно из исходных уравнений для вычисления значения \(r\).

При \(x = -3\) в первом уравнении получаем: \((-3)r -3 = 6\).
Решаем это уравнение: \(-3r - 3 = 6\).

При \(x = 2\) в первом уравнении получаем: \(2r + 2 = 6\).
Решаем это уравнение: \(2r + 2 = 6\).

8. Решим каждое полученное уравнение и найдем значения \(r\):

a) \(-3r - 3 = 6\).
Переносим константы в правую часть уравнения: \(-3r = 6 + 3\).
Производим вычисления: \(-3r = 9\).
Делим обе части на -3: \(r = -3\).

b) \(2r + 2 = 6\).
Переносим константы в правую часть уравнения: \(2r = 6 - 2\).
Производим вычисления: \(2r = 4\).
Делим обе части на 2: \(r = 2\).

Таким образом, получаем две пары значений для \(x\) и \(r\):

а) При \(x = -3\) получаем \(r = -3\).
б) При \(x = 2\) получаем \(r = 2\).

Ответ: система уравнений имеет два решения: \((x, r) = (-3, -3)\) и \((x, r) = (2, 2)\).