Как можно решить уравнение 13sin2x+13=-5cos2x?

Utkonos

53

Конечно! Давайте рассмотрим пошаговое решение данного уравнения.

1. Начнем с исходного уравнения: \(13\sin^2(x) + 13 = -5\cos^2(x)\).

2. Заметим, что у нас есть две функции синус и косинус, возведенные в квадрат. Для упрощения давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы избавиться от возведенных в квадрат функций.

3. Воспользуемся тождеством \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\), заменим его в уравнении: \(13(1 - \cos^2(x)) + 13 = -5\cos^2(x)\).

4. Прибавим к обеим частям уравнения \(5\cos^2(x)\) и упростим его: \(13 - 13\cos^2(x) + 13 = 0\).

5. Получили уравнение \(26 - 13\cos^2(x) = 0\).

6. Теперь давайте решим полученное квадратное уравнение относительно \(\cos^2(x)\).

7. Раскроем скобки и получится \(26 - 13\cos^2(x) = 0\).

8. Перенесем все члены уравнения в одну сторону и упростим его: \(13\cos^2(x) - 26 = 0\).

9. Разделим все члены на 13, получится \(\cos^2(x) - 2 = 0\).

10. Теперь добавим 2 к обеим частям уравнения: \(\cos^2(x) = 2\).

11. Найдем корень из обеих сторон уравнения: \(\cos(x) = \sqrt{2}\) или \(\cos(x) = -\sqrt{2}\).

12. Так как значения косинуса не могут превышать единицу или быть меньше -1, то уравнение \(\cos(x) = -\sqrt{2}\) не имеет решений.

13. Найдем значение угла \(x\), для которого \(\cos(x) = \sqrt{2}\). Воспользуемся калькулятором и получим \(x \approx 45^\circ\) или \(x \approx 225^\circ\).

14. Таким образом, уравнение \(13\sin^2(x) + 13 = -5\cos^2(x)\) имеет два решения: \(x \approx 45^\circ\) и \(x \approx 225^\circ\).

Надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как решить данное уравнение. Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать!