Как можно упростить выражение (3x^2-11х-4)/(12+х-х^2)?

Peschanaya_Zmeya

50

Хорошо, давайте разберем, как можно упростить данное выражение.

Первым шагом нам нужно проанализировать выражение в числителе и знаменателе. В числителе у нас есть многочлен \(3x^2 - 11x - 4\), а в знаменателе у нас есть многочлен \(12 + x - x^2\).

Поскольку нам нужно упростить выражение, наша задача состоит в том, чтобы разложить оба многочлена на множители, если это возможно. Давайте начнем с числителя.

Мы видим, что коэффициент перед \(x^2\) в числителе равен 3, коэффициент перед \(x\) равен -11, а константа равна -4. Для разложения этого многочлена на множители, нам нужно найти два числа, которые умножаются друг на друга, чтобы дать произведение равное произведению первого коэффициента (3) и последней константы (-4), то есть -12, и при этом сумма этих чисел равна второму коэффициенту (-11).

Рассмотрим комбинации таких чисел:
1 и -12: 1 * -12 = -12, 1 + (-12) = -11 (не подходит)
2 и -6: 2 * -6 = -12, 2 + (-6) = -4 (подходит)

Теперь мы можем разложить числитель на множители следующим образом:
\(3x^2 - 11x - 4 = (x - 2)(3x + 2)\)

Теперь обратимся к знаменателю. У нас есть многочлен \(12 + x - x^2\), и мы можем попытаться разложить его на множители.

Мы видим, что у нас есть многочлен со знаком минус перед \(x^2\), что означает, что мы должны разложить его на множители с отрицательными коэффициентами.

Рассмотрим различные комбинации таких чисел:
1 и -12: 1 * -12 = -12, 1 + (-12) = -11 (не подходит)
2 и -6: 2 * -6 = -12, 2 + (-6) = -4 (не подходит)
3 и -4: 3 * -4 = -12, 3 + (-4) = -1 (подходит)

Теперь мы можем разложить знаменатель на множители следующим образом:
\(12 + x - x^2 = -(x - 3)(x + 4)\)

Теперь, когда у нас есть многочлены в числителе и знаменателе в разложенной форме, мы можем простофицировать выражение, раскрывая скобки и упрощая выражение.

\(\frac{{3x^2 - 11x - 4}}{{12 + x - x^2}} = \frac{{(x - 2)(3x + 2)}}{{-(x - 3)(x + 4)}}\)

Теперь мы можем заметить, что (x - 2) сокращается в числителе и знаменателе, и мы можем сократить выражение следующим образом:

\(\frac{{\cancel{{(x - 2)}}(3x + 2)}}{{-1 \cdot (x - 3)(x + 4)}}\)

Итак, окончательное упрощенное выражение будет:

\(\frac{{3x + 2}}{{-1 \cdot (x - 3)(x + 4)}}\)

Вот и все! Теперь мы упростили данное выражение до необходимого уровня и можем использовать его в дальнейших расчетах.