Как можно устранить иррациональность в знаменателе следующей дроби: 21/5+√18? Подробно изложите

Skolzkiy_Pingvin

42

Чтобы устранить иррациональность в знаменателе дроби \( \frac{21}{5}+\sqrt{18} \), мы можем использовать метод рационализации знаменателя. Давайте приступим к решению.

Шаг 1: Рационализация знаменателя
Заметим, что иррациональным является только знаменатель \(\sqrt{18}\). Чтобы избавиться от квадратного корня, мы умножаем и знаменатель, и числитель на сопряженное значение знаменателя. Сопряженное значение для \(\sqrt{18}\) - это \(-\sqrt{18}\), так как произведение двух сопряженных значений всегда даёт рациональное число.

Теперь применим этот метод:

\[
\frac{21}{5}+\sqrt{18} = \frac{21}{5}\cdot \frac{{-\sqrt{18}}}{{-\sqrt{18}}}
\]

Выполнив умножение в числителе и знаменателе, получим:

\[
\frac{21 \cdot (-\sqrt{18})}{5 \cdot (-\sqrt{18})}
\]

Шаг 2: Вычисление значения
Теперь мы можем упростить эту дробь, подсчитав числитель и знаменатель отдельно:

- Числитель: \(21 \cdot (-\sqrt{18}) = -21\sqrt{18}\)
- Знаменатель: \(5 \cdot (-\sqrt{18}) = -5\sqrt{18}\)

Теперь мы можем записать выражение в форме простой дроби:

\[
\frac{-21\sqrt{18}}{-5\sqrt{18}}
\]

Шаг 3: Упрощение дроби
Заметим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель \(\sqrt{18}\). Мы можем сократить этот общий множитель, получив окончательный ответ:

\[
\frac{-21\sqrt{18}}{-5\sqrt{18}} = \frac{-21}{-5} = \frac{21}{5}
\]

Таким образом, мы смогли устранить иррациональность в знаменателе и получили, что исходное выражение равно \(\frac{21}{5}\).