Как можно заменить знаки “*” на “+” и “-” в выражении 2024^2 * 2023^2 * 2022^2 * ... * 2^2 * 1^2, чтобы его значение

Чудесная_Звезда

37

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится некоторое умение в работе со степенями и заменой операций умножения на сложение и вычитание. Давайте посмотрим на данное выражение и решим его пошагово.

Выражение, которое дано, выглядит следующим образом:

\[2024^2 \times 2023^2 \times 2022^2 \times ... \times 2^2 \times 1^2\]

Заметим, что можно использовать следующие свойства:

\[a^2 \times b^2 = (a \times b)^2\]

Теперь давайте преобразуем выражение, заменив множество множителей \(a^2\), где \(a\) пробегает значения от 2024 до 1, на их факторизацию, т.е. на произведение двух чисел:

\[a^2 = (a \times (a - 1))\]

Теперь мы можем записать преобразованное выражение, заменив каждый множитель \(a^2\) на \((a \times (a - 1))^2\):

\[(2024 \times (2024 - 1))^2 \times (2023 \times (2023 - 1))^2 \times ...\]

Теперь давайте упростим это выражение, выполним операции в скобках и вычислим значение:

\[(2024 \times (2023))^2 \times (2023 \times (2022))^2 \times ...\]
\[=(2024 \times 2023)^2 \times (2023 \times 2022)^2 \times ...\]
\[=(2024 \times 2023)^2 \times (2023 \times 2022)^2 \times ...\]

Таким образом, мы заменили все множители \(a \times (a - 1)\) на \(a\) и получили следующее выражение:

\[(2024 \times 2023)^2 \times (2023 \times 2022)^2 \times ...\]

Теперь посмотрим на каждый множитель отдельно и поймем, как заменить его на сумму или разность.

Рассмотрим множитель \((2024 \times 2023)^2\). Заметим, что можно разложить его на сумму и разность следующим образом:

\[(2024 \times 2023)^2 = (2024^2 - 2023^2)\]

Теперь мы можем записать преобразованное выражение:

\[(2024^2 - 2023^2) \times (2023 \times 2022)^2 \times ...\]

Повторим этот процесс для каждого множителя. Например, для \((2023 \times 2022)^2\) мы можем разложить его следующим образом:

\[(2023 \times 2022)^2 = (2023^2 - 2022^2)\]

Таким образом, мы заменили множитель \((2023 \times 2022)^2\) на \((2023^2 - 2022^2)\).

Продолжим этот процесс до тех пор, пока не заменим все множители и не получим выражение следующего вида:

\[(2024^2 - 2023^2) \times (2023^2 - 2022^2) \times ... \times (3^2 - 2^2) \times (2^2 - 1^2)\]

Теперь мы можем посчитать значение этого выражения, выполнив операции сложения и вычитания по порядку:

\[(2024^2 - 2023^2) \times (2023^2 - 2022^2) \times ... \times (3^2 - 2^2) \times (2^2 - 1^2)\]
\[= (2024 + 2023)(2024 - 2023) \times (2023 + 2022)(2023 - 2022) \times ... \times (3 + 2)(3 - 2) \times (2 + 1)(2 - 1)\]

Сократим каждую пару скобок:

\[1 \times 1 \times ... \times 5 \times 3 \times 3 \times 5 \times 3 \times 1 = 2024\]

Как видно, значение этого выражения равно 2024, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы заменили все знаки "*" на "+" и "-", чтобы значение данного выражения было равным 2024.