Как найти 20-ую производную функции y, если y=x^2*e^2x? Как найти 50-ую производную функции y, если y=x*lnx?

Skazochnyy_Fakir

56

Для нахождения 20-ой производной функции \(y = x^2 \cdot e^{2x}\) и 50-ой производной функции \(y = x \cdot \ln{x}\) мы будем использовать правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования для логарифма. Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Найдем 20-ую производную функции \(y = x^2 \cdot e^{2x}\):
Для начала, посмотрим на правило дифференцирования произведения:
\[\frac{d}{dx}(uv) = u"v + uv"\]

В нашем случае, первая функция \(u\) это \(x^2\) с производной \(u" = 2x\), а вторая функция \(v\) это \(e^{2x}\) с производной \(v" = 2e^{2x}\).

Применяя правило дифференцирования произведения, получим:
\[\frac{d}{dx}(x^2 \cdot e^{2x}) = (2x) \cdot e^{2x} + (x^2) \cdot (2e^{2x})\]

Теперь найдем вторую производную этого выражения:
\[\frac{d^2}{dx^2}(x^2 \cdot e^{2x}) = (2) \cdot e^{2x} + (2x) \cdot (2e^{2x}) + (2x) \cdot (2e^{2x}) + (x^2) \cdot (4e^{2x})\]
\[= 2e^{2x} + 4xe^{2x} + 4xe^{2x} + 4x^2e^{2x}\]

Продолжая этот процесс, мы дифференцируем выражение еще 18 раз, чтобы найти 20-ую производную функции. В каждом шаге мы будем использовать правило дифференцирования произведения. Каждый новый шаг будет множить на множитель \(2x\), а предыдущий шаг на множитель \(2\).

В итоге, 20-ая производная функции \(y = x^2 \cdot e^{2x}\) будет иметь следующий вид:
\[20! \cdot e^{2x} + 20! \cdot 4x \cdot e^{2x} + 20! \cdot 4x \cdot e^{2x} + 20! \cdot 4x^2 \cdot e^{2x}\]

2. Теперь рассмотрим задачу на нахождение 50-ой производной функции \(y = x \cdot \ln{x}\):
Для начала, посмотрим на правило дифференцирования для логарифма:
\[\frac{d}{dx}(\ln{u}) = \frac{u"}{u}\]

В нашем случае, функция \(u\) это \(x\) с производной \(u" = 1\).

Применяя правило дифференцирования для логарифма, получим:
\[\frac{d}{dx}(x \cdot \ln{x}) = \frac{1}{x} \cdot x + \ln{x} \cdot 1\]
\[= \ln{x} + 1\]

Теперь найдем вторую производную этого выражения:
\[\frac{d^2}{dx^2}(x \cdot \ln{x}) = \frac{1}{x} + 0\]

Продолжая этот процесс, мы дифференцируем выражение еще 48 раз (после второй производной), чтобы найти 50-ую производную функции. Каждый новый шаг будет множить на множитель \(0\), так как производная логарифма будет равна нулю на каждом новом шаге.

В итоге, 50-ая производная функции \(y = x \cdot \ln{x}\) будет иметь следующий вид:
\(0\)

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти 20-ую и 50-ую производные данных функций. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.