Как найти длину образующей конуса, если радиус основания равен 6 см, а высота в два раза меньше длины образующей?

Grigoryevich

2

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Запишите известные данные. У нас есть радиус основания конуса, который равен 6 см. Мы знаем, что высота конуса в два раза меньше длины образующей.

Шаг 2: Обозначим неизвестную величину, которую мы ищем. Пусть \(l\) - длина образующей конуса.

Шаг 3: Воспользуемся свойством треугольника, состоящего из половины длины образующей, радиуса основания и высоты конуса. Этот треугольник является прямоугольным, а значит можно применить теорему Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат длины образующей равен сумме квадратов радиуса основания и квадрата высоты конуса:

\[
l^2 = r^2 + h^2
\]

Чтобы продолжить решение, нам нужно найти высоту конуса \(h\). Мы знаем, что высота в два раза меньше длины образующей, то есть \(h = \frac{l}{2}\).

Шаг 4: Подставим значение высоты в формулу теоремы Пифагора:

\[
l^2 = r^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2
\]

Выполним расчет:

\[
l^2 = r^2 + \frac{l^2}{4}
\]

\[
l^2 - \frac{l^2}{4} = r^2
\]

\[
\frac{3}{4}l^2 = r^2
\]

Чтобы решить это уравнение относительно \(l\), умножим обе части на \(\frac{4}{3}\):

\[
l^2 = \frac{4}{3}r^2
\]

\[
l = \sqrt{\frac{4}{3}r^2}
\]

Шаг 5: Подставим значение радиуса \(r=6 \ \text{см}\) в полученную формулу и вычислим длину образующей \(l\):

\[
l = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 6^2} \approx \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 36} \approx \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 36} \approx \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 36} \approx \sqrt{\frac{144}{3}} \approx \sqrt{48} \approx 6.93 \ \text{см}
\]

Таким образом, длина образующей конуса составляет приблизительно 6.93 см.