Как найти корни уравнения (4x - 2)^2 = (4x - 7) (4x

Sladkiy_Assasin

22

Чтобы найти корни данного уравнения \((4x - 2)^2 = (4x - 7)(4x + 3)\), мы сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\((4x - 2)^2 = (16x^2 - 4x - 21x + 6)\)

Далее, приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:

\((4x - 2)^2 = (16x^2 - 25x + 6)\)

Теперь у нас есть уравнение вида \((ax + b)^2 = cx^2 + dx + e\), где \(a = 4\), \(b = -2\), \(c = 16\), \(d = -25\), и \(e = 6\).

Для решения этого типа уравнения, нам потребуется привести его к квадратному уравнению. Для этого введем новую переменную \(y = ax + b\). Подставив в уравнение данное выражение, получим:

\(y^2 = cx^2 + dx + e\)

\((4x - 2)^2 = 16x^2 - 25x + 6\)

\(y^2 = 16x^2 - 25x + 6\)

Заметим, что это квадратное уравнение вида \(y^2 = ax^2 + bx + c\), где \(a = 16\), \(b = -25\), и \(c = 6\).

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью стандартной формулы. По формуле дискриминанта, находим значение дискриминанта:

\(\Delta = b^2 - 4ac\)

\(\Delta = (-25)^2 - 4(16)(6)\)

\(\Delta = 625 - 384\)

\(\Delta = 241\)

Так как значение дискриминанта положительное, имеем два вещественных корня.

Корни данного уравнения можно найти по следующей формуле:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Подставим значения \(a = 16\), \(b = -25\) и \(\Delta = 241\) в формулу и найдем значения корней:

\(x = \frac{-(-25) \pm \sqrt{241}}{2(16)}\)

\(x = \frac{25 \pm \sqrt{241}}{32}\)

Таким образом, корни уравнения \((4x - 2)^2 = (4x - 7)(4x + 3)\) равны:

\(x_1 = \frac{25 + \sqrt{241}}{32}\)

\(x_2 = \frac{25 - \sqrt{241}}{32}\)