Как найти математическое ожидание для показательного распределения с плотностью f(x) = 5e^(-5x), при x ≥ 0? Как найти

Timka

37

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами.

Для начала, чтобы найти математическое ожидание для показательного распределения с заданной плотностью, нам понадобится использовать формулу для расчета математического ожидания. Формула для математического ожидания в общем виде выглядит следующим образом:

\[
E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx
\]

где \(X\) - случайная величина с заданной плотностью \(f(x)\), а интеграл берется по всем возможным значениям \(x\). В нашем случае, у нас есть плотность \(f(x) = 5e^{-5x}\) для \(x \geq 0\).

Давайте произведем расчет пошагово:

1. Начнем с подстановки плотности в формулу математического ожидания:

\[
E(X) = \int x \cdot 5e^{-5x} \, dx
\]

2. Теперь мы должны проинтегрировать данное выражение. При интегрировании мы получим:

\[
E(X) = -x e^{-5x} - \frac{1}{5} e^{-5x} + C
\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

3. Поскольку мы рассматриваем случайную величину, которая принимает значения только \(x \geq 0\), нам нужно вычислить пределы интегрирования. В нашем случае, это будет выглядеть так:

\[
E(X) = \int_0^\infty x \cdot 5e^{-5x} \, dx
\]

Мы интегрируем от 0 до бесконечности.

4. Теперь нам нужно вычислить значения пределов интегрирования. Вычислим предел второго слагаемого, где \(e^{-5x}\) стремится к нулю при \(x\) стремящемся к бесконечности. Это дает нам:

\[
\lim_{{x \to \infty}} -x e^{-5x} = 0
\]

следовательно, первое слагаемое делается равным нулю, так как \(0 \cdot e^{-5x} = 0\).

5. Теперь мы можем продолжить вычисление:

\[
E(X) = \int_0^\infty - \frac{1}{5} e^{-5x} \, dx
\]

6. Беря интеграл, мы получаем:

\[
E(X) = -\frac{1}{5} \int_0^\infty e^{-5x} \, dx
\]

7. Подставляем пределы интегрирования:

\[
E(X) = -\frac{1}{5} \left[ -\frac{1}{5} e^{-5x} \right]_0^\infty
\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования и продолжим упрощение.

8. При вычислении предела в нижнем пределе интегрирования при \(x = 0\) мы получаем:

\[
\lim_{{x \to 0}} -\frac{1}{5} e^{-5x} = -\frac{1}{5} e^0 = -\frac{1}{5}
\]

9. При вычислении предела в верхнем пределе интегрирования при \(x \to \infty\) мы получаем:

\[
\lim_{{x \to \infty}} -\frac{1}{5} e^{-5x} = -\frac{1}{5} \cdot 0 = 0
\]

Таким образом, второе слагаемое также становится равным нулю.

10. В итоге получаем математическое ожидание:

\[
E(X) = -\frac{1}{5} - 0 = -\frac{1}{5}
\]

Таким образом, математическое ожидание для показательного распределения с плотностью \(f(x) = 5e^{-5x}\) при \(x \geq 0\) равно \(-\frac{1}{5}\).

Теперь перейдем ко второй задаче, где нам нужно найти математическое ожидание для показательного распределения с заданной функцией распределения \(F(x) = 1 - e^{-0.1x}\).

Функция распределения определяется как производная от функции плотности, поэтому мы можем использовать ее для нахождения плотности распределения.

\[
f(x) = F"(x)
\]

В нашем случае, для расчета плотности распределения нам нужно произвести по \(x\) функцию распределения:

\[
f(x) = \frac{d}{dx} (1 - e^{-0.1x})
\]

Теперь произведем расчеты:

1. Найдем производную функции распределения \(F(x)\):

\[
f(x) = \frac{d}{dx} (1 - e^{-0.1x})
\]

2. Произведем дифференцирование:

\[
f(x) = 0.1e^{-0.1x}
\]

Получили функцию плотности распределения.

3. Теперь мы можем использовать полученную плотность для расчета математического ожидания. Применим формулу математического ожидания, которая уже была приведена выше:

\[
E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx
\]

С подставленной функцией плотности \(f(x) = 0.1e^{-0.1x}\) и пределами интегрирования от 0 до бесконечности.

4. Произведем вычисления:

\[
E(X) = \int_0^\infty x \cdot 0.1e^{-0.1x} \, dx
\]

5. Чтобы упростить вычисления, мы можем вынести константу \(\frac{1}{10}\) из-под интеграла:

\[
E(X) = \frac{1}{10} \int_0^\infty x \cdot e^{-0.1x} \, dx
\]

6. Теперь произведем интегрирование. Результатом будет:

\[
E(X) = \frac{1}{10} \left[ -10xe^{-0.1x} - 100e^{-0.1x} \right]_0^\infty
\]

7. Вычислим пределы интеграла. В нижнем пределе интегрирования \(x = 0\), получаем:

\[
\lim_{{x \to 0}} -\frac{10x}{10} \cdot e^{-0.1x} - \frac{100}{10} \cdot e^{-0.1x} = 0
\]

Верхний предел интегрирования стремится к нулю, т.к. экспонента с отрицательным аргументом стремится к нулю при \(x \to \infty\).

8. В итоге получаем математическое ожидание:

\[
E(X) = 0 - 0 = 0
\]

Таким образом, математическое ожидание для показательного распределения с функцией распределения \(F(x) = 1 - e^{-0.1x}\) равно 0.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогли вам лучше понять, как найти математическое ожидание для показательного распределения с заданными плотностью и функцией распределения. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.