Как найти наибольший общий множитель выражений 1) -21x^2-42c+14x+70 и 2) x^2-41x^4+14x^{10}-34x^8?

Луна_В_Облаках_7586

13

Чтобы найти наибольший общий множитель (НОД) двух выражений, мы можем использовать метод деления с остатком.

Сначала нам нужно записать оба выражения в стандартной форме: от высокой степени до низкой степени. Затем мы можем делить одно выражение на другое, используя деление с остатком, и продолжать делить до тех пор, пока остаток не станет равным нулю.

\[
\begin{align*}
-21x^2 - 42c + 14x + 70 &= -21x^2 + 14x - 42c + 70 \\
x^2 - 41x^4 + 14x^{10} - 34x^8 &= 14x^{10} - 41x^4 - 34x^8 + x^2
\end{align*}
\]

Мы начнем с деления первого выражения на второе. Для этого сравним их наибольшие по степени члены: \( -21x^2 \) и \( x^2 \). Результатом будет \( -21 \).

Теперь мы должны умножить второе выражение на \( -21 \) и вычесть его из первого:

\[
\begin{array}{c|cccc}
& -21x^2 & + 14x & - 42c & + 70 \\
\hline
x^2 - 41x^4 + 14x^{10} - 34x^8 & \color{blue}{-21}x^2 & & \\
\hline
& & 14x & 42c & -70 \\
& & - \color{blue}{-14} & \\
\hline
& & 0 & 42c & 0 \\
& \end{array}
\]

Теперь у нас есть новое выражение: \( 14x - 42c \). Снова сравниваем его наибольший член по степени, который является переменной \( x \), с наибольшим членом первого выражения. Результатом будет \( 14 \).

Умножаем второе выражение на \( 14 \) и вычитаем его из нового выражения:

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& -21x^2 & + 14x & - 42c & + 70 \\
\hline
x^2 - 41x^4 + 14x^{10} - 34x^8 & -21x^2 & + 14x & - 42c & + 70 \\
\hline
& & 14x & 42c & -70 \\
& & \color{blue}{-14}x & \\
\hline
& & 0 & 42c - 14x & 0 \\
& \end{array}
\]

Теперь у нас есть последнее выражение: \( 42c - 14x \). Снова сравниваем его наибольший член по степени, который является переменной \( c \), с наибольшим членом первого выражения. Результатом будет \( 42 \).

Умножаем второе выражение на \( 42 \) и вычитаем его из последнего выражения:

\[
\begin{array}{c|cccc}
& -21x^2 & + 14x & - 42c & + 70 \\
\hline
x^2 - 41x^4 + 14x^{10} - 34x^8 & -21x^2 & + 14x & - 42c & + 70 \\
\hline
& & 14x & 42c & -70 \\
& & -14x & \\
\hline
& & 0 & 42c - 14x & 0 \\
\hline
& & & 42c - 14x & \\
\hline
& & & \color{blue}{0}
\end{array}
\]

Остатком является 0, что означает, что мы достигли конечного результата. Наш НОД для заданных выражений равен \( 42c - 14x \).

Таким образом, наибольший общий множитель выражений \( -21x^2 - 42c + 14x + 70 \) и \( x^2 - 41x^4 + 14x^{10} - 34x^8 \) равен \( 42c - 14x \).