Какова длина высоты треугольника ABC, если угол C равен 90 градусов, длина стороны AC равна 13, и тангенс угла A равен

Sladkaya_Siren_4760

53

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства тригонометрии и теорему Пифагора.

Для начала, у нас имеется треугольник ABC, в котором угол C равен 90 градусов, сторона AC равна 13 и тангенс угла A равен 5/12.

Зная, что тангенс угла A равен отношению противоположной стороны (BC) к прилежащей стороне (AB), мы можем записать следующую формулу:

\(\tan A = \frac{BC}{AB}\)

Подставим известные значения в формулу:

\(\frac{5}{12} = \frac{BC}{AB}\)

Теперь мы можем найти отношение длины противоположной стороны (BC) к длине прилежащей стороны (AB).

Далее, воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат длины гипотенузы (стороны AC) равен сумме квадратов длин катетов (BC и AB).

Мы знаем, что сторона AC равна 13, а сторона BC — неизвестная величина, которую мы хотим найти. Обозначим длину стороны AB как x.

Тогда мы можем записать следующее уравнение по теореме Пифагора:

\(AC^2 = BC^2 + AB^2\)

Подставим известные значения:

\(13^2 = BC^2 + x^2\)

Решим это уравнение относительно BC.

\(169 = BC^2 + x^2\)

На этом этапе, у нас есть два уравнения:

\(\frac{5}{12} = \frac{BC}{x}\)

\(169 = BC^2 + x^2\)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого, мы сначала решим первое уравнение относительно BC:

\(BC = \frac{5}{12}x\)

Теперь, подставим это выражение во второе уравнение:

\(169 = \left(\frac{5}{12}x\right)^2 + x^2\)

Теперь, упростим это уравнение:

\(169 = \frac{25}{144}x^2 + x^2\)

Найдем общий знаменатель и сложим дроби:

\(169 = \frac{25x^2}{144} + \frac{144x^2}{144}\)

Получаем:

\(169 = \frac{169x^2}{144}\)

Теперь, избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 144:

\(169 \cdot 144 = 169x^2\)

Отсюда получаем:

\(x^2 = 144\)

Взяв квадратный корень от обеих сторон, получаем:

\(x = 12\)

Таким образом, длина стороны AB равна 12.

Теперь, найдем длину стороны BC, подставив найденное значение x в выражение \(BC = \frac{5}{12}x\):

\(BC = \frac{5}{12} \cdot 12 = 5\)

Итак, длина стороны BC равна 5.

Так как сторона BC является высотой треугольника, то получаем, что длина высоты треугольника ABC равна 5.

Итак, ответ: длина высоты треугольника ABC равна 5.