Как найти одну из первообразных для функции f(x)=sin(3x-2)-x^5? Если можно, приложите решение

Polyarnaya

34

Хорошо! Для поиска первообразной функции \(f(x) = \sin(3x-2) - x^5\), мы будем выполнять несколько шагов.

Шаг 1: Найдем первообразную для каждого слагаемого отдельно.

Для слагаемого \(\sin(3x-2)\) мы используем формулу для первообразной синуса:
\[\int \sin(ax+b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C\]

В данном случае \(a = 3\) и \(b = -2\), поэтому первообразная для \(\sin(3x-2)\) будет:
\[-\frac{1}{3} \cos(3x-2) + C_1\]

Для слагаемого \(-x^5\) мы просто добавим 1 к степени и поделим на новую степень.
То есть первообразная для \(-x^5\) будет:
\[-\frac{1}{6} x^6 + C_2\]

Таким образом, мы имеем первообразную для функции \(f(x) = \sin(3x-2) - x^5\):
\[F(x) = -\frac{1}{3} \cos(3x-2) - \frac{1}{6} x^6 + C\]

Где \(C\) - произвольная постоянная.

Шаг 2: Подходящий пример.

Пусть мы хотим найти значение первообразной для функции \(f(x) = \sin(3x-2) - x^5\) в точке \(x = 1\).

Подставим \(x = 1\) в формулу первообразной:
\[F(1) = -\frac{1}{3} \cos(3(1)-2) - \frac{1}{6} (1)^6 + C\]

Упростим эту формулу:
\[F(1) = -\frac{1}{3} \cos(1) - \frac{1}{6} + C\]

Если бы у нас были значения констант \(C_1\) и \(C_2\), мы бы их объединили в одну постоянную \(C\).
Вычислим точное значение первообразной в \(x = 1\), зная \(C\).

Таким образом, чтобы найти одну из первообразных для функции \(f(x) = \sin(3x-2) - x^5\), мы используем формулу:
\[F(x) = -\frac{1}{3} \cos(3x-2) - \frac{1}{6} x^6 + C\]

Надеюсь, это решение было полезным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.