Как найти площадь области, ограниченной графиками уравнений y=x2 – 4x + 3 и y = x –1? Пожалуйста, также нарисуйте

Yaksob_4605

38

Хорошо! Для начала, давайте найдем точки пересечения графиков этих двух уравнений. Чтобы найти точки пересечения, приравняем два уравнения друг к другу:

\[x^2 - 4x + 3 = x - 1\]

Перенесем все члены уравнения влево:

\[x^2 - 5x + 4 = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит так:

\[D = b^2 - 4ac\]

где a, b и c - это коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае:

\[a = 1, \quad b = -5, \quad c = 4\]

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[D = 25 - 16 = 9\]

Так как дискриминант D положительный, это означает, что уравнение имеет два различных корня.

Далее, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получим:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения графиков: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 1\).

Далее, чтобы нарисовать графики этих функций, мы можем использовать эти точки пересечения и дополнительные точки для создания таблицы значений и проведения линий.

Давайте найдем несколько дополнительных значений для x и используем их, чтобы вычислить соответствующие значения y для каждого уравнения. Затем мы сможем нарисовать графики, используя эти значения.

Пусть мы возьмем значения x в следующем порядке: -2, -1, 0, 1, 2, 3 и 5.

Для первого уравнения \(y = x^2 - 4x + 3\) используем эти значения x:

\[y = (-2)^2 - 4(-2) + 3 = 4 + 8 + 3 = 15\]
\[y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8\]
\[y = (0)^2 - 4(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3\]
\[y = (1)^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\]
\[y = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\]
\[y = (3)^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0\]
\[y = (5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8\]

Теперь найдем значения y для второго уравнения \(y = x - 1\):

\[y = -2 - 1 = -3\]
\[y = -1 - 1 = -2\]
\[y = 0 - 1 = -1\]
\[y = 1 - 1 = 0\]
\[y = 2 - 1 = 1\]
\[y = 3 - 1 = 2\]
\[y = 5 - 1 = 4\]

Теперь у нас есть достаточно значений для создания таблицы значений и построения графиков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & y = x^2 - 4x + 3 & y = x - 1 \\
\hline
-2 & 15 & -3 \\
-1 & 8 & -2 \\
0 & 3 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 1 \\
3 & 0 & 2 \\
5 & 8 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь нарисуем график этих функций:


На графике видно, что область, ограниченная графиками уравнений \(y = x^2 - 4x + 3\) и \(y = x - 1\), находится между этими двумя кривыми. Чтобы найти площадь этой области, мы можем вычислить определенный интеграл от \(y = x^2 - 4x + 3\) до \(y = x - 1\) в пределах значений x от 1 до 4.

Этот интеграл можно записать следующим образом:

\[S = \int_{1}^{4} [(x - 1) - (x^2 - 4x + 3)] dx\]

Выполняя интегрирование, получаем:

\[S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 3x - 4) dx\]

\[S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 4x\right]_{1}^{4}\]

\[S = \left[-\frac{(4)^3}{3} + \frac{3(4)^2}{2} - 4(4)\right] - \left[-\frac{(1)^3}{3} + \frac{3(1)^2}{2} - 4(1)\right]\]

Подставляя значения и выполняя вычисления, получаем:

\[S = -\frac{64}{3} + \frac{48}{2} - 16 - \left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4\right)\]

\[S = -\frac{64}{3} + 24 - 16 - \left(-\frac{1}{3} + \frac{9}{6} - 4\right)\]

\[S = -\frac{64}{3} + 24 - 16 - \left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4\right)\]

\[S = -\frac{64}{3} + 24 - 16 + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4\]

\[S = \frac{9}{2}\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками уравнений \(y = x^2 - 4x + 3\) и \(y = x - 1\), равна \(\frac{9}{2}\) или 4.5.