Как найти производную функции f(x) = ctg x + 2x в кубе

Solnechnyy_Kalligraf

44

Конечно, я могу помочь найти производную функции \(f(x) = \cot x + 2x^3\). Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Найдем производную первого слагаемого \(\cot x\). Для этого нам понадобится знание производных тригонометрических функций.

Производная функции \(\cot x\) может быть найдена следующим образом. Сначала выражаем \(\cot x\) через \(\cos x\) и \(\sin x\):

\[\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\]

Затем найдем производные \(\cos x\) и \(\sin x\):

\[\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\]
\[\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\]

Теперь можем найти производную \(\cot x\) с помощью правила дифференцирования частного функций:

\[\frac{d}{dx}(\cot x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \frac{\sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{(\sin x)^2} = -\frac{1}{(\sin x)^2}\]

Шаг 2: Найдем производную второго слагаемого \(2x^3\). Для этого применим правило дифференцирования степенной функции:

\[\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2\]

Шаг 3: Теперь найдем производную всей функции \(f(x) = \cot x + 2x^3\) как сумму производных слагаемых:

\[\frac{d}{dx}(f(x)) = \frac{d}{dx}(\cot x) + \frac{d}{dx}(2x^3) = -\frac{1}{(\sin x)^2} + 6x^2\]

Итак, производная функции \(f(x) = \cot x + 2x^3\) равна \(-\frac{1}{(\sin x)^2} + 6x^2\).

Надеюсь, это дает вам полное представление о том, как найти производную данной функции. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.